Determinante de orden 2: $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
Regla de Sarrus (orden 3): se suman los productos de las diagonales principales y se restan los de las secundarias.
Propiedades: $|A\cdot B| = |A|\cdot|B|$; $|A^T| = |A|$; si se multiplica una fila (o columna) por $k$, el determinante queda multiplicado por $k$; $|kA| = k^n|A|$ para matrices de orden $n$; si dos filas son proporcionales, el determinante es $0$.
Inversa: $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,\text{adj}(A)^T$, siempre que $|A| \neq 0$. Además $|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|}$.
Regla de Cramer: en un sistema compatible determinado, $x_i = \dfrac{|A_i|}{|A|}$, donde $A_i$ es la matriz $A$ con la columna $i$ sustituida por los términos independientes.
Rango: es el orden del mayor menor no nulo. Una matriz cuadrada de orden $n$ tiene rango $n$ si y solo si su determinante es distinto de cero.
1. Si se multiplica una fila de una matriz cuadrada por 3, ¿qué ocurre con su determinante?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Una de las propiedades de los determinantes dice que si se multiplica una fila (o columna) por un número $k$, el determinante queda multiplicado por $k$.
Retroalimentación: Desarrollando por la primera columna: $1\cdot\begin{vmatrix}1&4\\0&2\end{vmatrix} - 0 + 1\cdot\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix} = (2-0) + (8-3) = 2 + 5 = 7$.
4. Sea $f(x) = \begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{vmatrix}$. Responde a los dos apartados:
(2 puntos)
a
)
Apartado a): ¿Cuántos valores reales de $x$ anulan el determinante?
b
)
Apartado b): ¿Cuál es el mayor de esos valores? (Aproxima con dos decimales.)
Retroalimentación:
5. Si una matriz cuadrada de orden 3 tiene determinante distinto de cero, su rango es:
(1 punto)
Retroalimentación: El rango es el orden del mayor menor no nulo. Si $|A| \neq 0$ existe un menor de orden 3 no nulo, luego el rango es 3 (la matriz es regular e invertible).
6. Si $A$ es una matriz cuadrada de orden 3 con $|A| = 2$, ¿cuánto vale $|3A|$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Al multiplicar toda la matriz por 3, cada una de las 3 filas queda multiplicada por 3: $|3A| = 3^3\,|A| = 27\cdot 2 = 54$.
7. Si $|A| = 5$, ¿cuánto vale el determinante de la matriz inversa $A^{-1}$?
(1 punto)
Retroalimentación: Como $A\cdot A^{-1} = I$ y $|I| = 1$, se cumple $|A|\cdot|A^{-1}| = 1$, de donde $|A^{-1}| = \dfrac{1}{5} = 0.2$.