Distribuciones de probabilidad — 2º Bachillerato Académicas
Binomial $X \sim B(n, p)$: $P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}$, con esperanza $\mu = np$ y desviación típica $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$.
Normal $X \sim N(\mu, \sigma)$: se tipifica con $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$.
Valores de uso frecuente: $P(Z < 1) \approx 0.8413$, $P(Z < 1.96) = 0.975$, $P(-1 < Z < 1) \approx 0.6827$, $P(-1.96 < Z < 1.96) = 0.95$.
Corrección de continuidad: al aproximar una binomial por una normal se suma o resta $0.5$ al valor entero.
Aproximación: si $np \geq 5$ y $n(1-p) \geq 5$, la binomial $B(n,p)$ se puede aproximar por $N(np, \sqrt{np(1-p)})$.
2. Sea $X \sim B(4,\,0.5)$. Calcula $P(X = 2)$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $P(X=2) = \binom{4}{2}(0.5)^2(0.5)^2 = 6\cdot 0.0625 = 0.375$.
3. Sea $X \sim B(10,\,0.2)$. Calcula $P(X = 0)$. (Aproxima con dos decimales.)
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $P(X=0) = \binom{10}{0}(0.2)^0(0.8)^{10} = 0.8^{10} \approx 0.1074$, es decir, aproximadamente $0.11$.
4. Sea $X \sim N(5,\,2)$. Calcula $P(X < 7)$. (Aproxima con dos decimales.)
(1 punto)
Retroalimentación: Tipificando: $Z = \dfrac{7-5}{2} = 1$, luego $P(X<7) = P(Z<1) \approx 0.8413$, aproximadamente $0.84$.
5. Sea $X \sim N(100,\,15)$. Responde a los dos apartados (aproxima con dos decimales):
(2 puntos)
Retroalimentación:
6. Sea $Z \sim N(0,1)$. Halla el valor de $z$ tal que $P(Z < z) = 0.975$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: El valor crítico de la normal estándar que deja a su izquierda una probabilidad de $0.975$ es $z = 1.96$.
7. ¿Cuál es la varianza de una distribución binomial $B(n,p)$?
(1 punto)
Retroalimentación: La varianza de una binomial es $\text{Var}(X) = np(1-p)$, donde $q = 1-p$.