Dominio: en las funciones racionales se excluyen los valores que anulan el denominador; en $\ln(g(x))$ se exige $g(x)>0$; en $\sqrt{g(x)}$ se exige $g(x)\geq 0$.
Asíntotas verticales: en $x=a$ si $\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$. Horizontales: $y = \lim_{x\to\pm\infty} f(x)$ si es finito. Oblicuas $y=mx+n$: $m = \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ y $n = \lim_{x\to\infty}(f(x)-mx)$.
Simetrías: par si $f(-x)=f(x)$; impar si $f(-x)=-f(x)$.
Puntos de corte: con el eje OX se resuelve $f(x)=0$; con el eje OY se calcula $f(0)$.
Crecimiento, extremos, concavidad y puntos de inflexión se estudian con $f'$ y $f''$: $f''=0$ con cambio de signo da un punto de inflexión.
1. ¿Cuál es el dominio de la función $f(x) = \ln(x-1)$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: El logaritmo exige argumento positivo: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$. El dominio es $(1, +\infty)$.
2. ¿Cuál es la asíntota vertical de la función $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: El denominador se anula en $x=2$ y el numerador no, luego $\lim_{x\to 2} f(x) = \pm\infty$: la asíntota vertical es $x=2$.
3. ¿Cuál es la asíntota horizontal de la función $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$? Indica el valor de $y$.
(1 punto)
Retroalimentación: $\lim_{x\to\pm\infty} \dfrac{2x+1}{x-3} = 2$ (cociente de coeficientes de mayor grado), luego la asíntota horizontal es $y=2$.
4. ¿Cuál es la asíntota oblicua de la función $f(x) = \dfrac{x^2+1}{x}$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Dividiendo: $\dfrac{x^2+1}{x} = x + \dfrac{1}{x}$. Cuando $x\to\infty$ la fracción tiende a 0, luego la asíntota oblicua es $y=x$.
5. Dada la función $f(x) = x^3 - 4x$, responde a los dos apartados:
(2 puntos)
a
)
Apartado a): ¿Cuántos puntos de corte tiene la gráfica con el eje OX?
b
)
Apartado b): ¿Cuántos puntos de corte tiene con el eje OY?
Retroalimentación:
6. ¿En qué abscisa tiene el punto de inflexión la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $f''(x) = 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$. La segunda derivada cambia de signo en $x=1$, luego ahí hay un punto de inflexión.
7. ¿Qué tipo de simetría presenta la función $f(x) = \dfrac{1}{x}$?
(1 punto)
Retroalimentación: $f(-x) = \dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x} = -f(x)$, luego la función es impar: su gráfica es simétrica respecto del origen.