Geometría en el espacio — 2º Bachillerato Académicas

Producto escalar: $\vec u \cdot \vec v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = |\vec u||\vec v|\cos\alpha$. Si el producto escalar es 0, los vectores son perpendiculares.

Módulo: $|\vec u| = \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$.

Producto vectorial: $\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$, es un vector perpendicular a ambos, de módulo $|\vec u\times\vec v| = |\vec u||\vec v|\sin\alpha$ (área del paralelogramo).

Producto mixto: $[\vec u,\vec v,\vec w] = \vec u\cdot(\vec v\times\vec w)$; su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo. Si es 0, los tres vectores son linealmente dependientes (coplanarios).

Dependencia lineal: tres vectores de $\mathbb{R}^3$ son independientes si y solo si su producto mixto (o el determinante de sus coordenadas) es distinto de cero.

1. Si dos vectores son perpendiculares, ¿cuánto vale su producto escalar? (1.5 puntos)

2. Dados $\vec u = (1,0,0)$ y $\vec v = (0,1,0)$, calcula la componente $z$ del producto vectorial $\vec u \times \vec v$. (1.5 puntos)

3. Calcula el módulo del vector $\vec u = (1, 2, 2)$. (1.5 puntos)

4. Calcula el producto mixto $[\vec u, \vec v, \vec w]$ con $\vec u = (1,0,0)$, $\vec v = (0,1,0)$ y $\vec w = (0,0,2)$. (1.5 puntos)

5. Sean $\vec u = (1,2,3)$, $\vec v = (2,4,6)$ y $\vec w = (0,1,0)$. Responde a los dos apartados: (2 puntos)

a ) Apartado a): Calcula el producto mixto $[\vec u, \vec v, \vec w]$.

b ) Apartado b): ¿Son los tres vectores coplanarios? (Responde 1 si es sí y 0 si es no.)

6. ¿Cuánto mide el ángulo (en grados) formado por los vectores $\vec u = (1,0,0)$ y $\vec v = (0,1,0)$? (1 punto)

7. El producto vectorial $\vec u \times \vec v$ es un vector que resulta ser... (1 punto)