Geometría métrica en el espacio — 2º Bachillerato Académicas
Distancia entre dos puntos: $d(A,B) = |\overrightarrow{AB}|$.
Distancia de un punto a un plano $\pi: ax+by+cz+d=0$: $d(P,\pi) = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
Ángulo entre recta y plano: $\sin\theta = \dfrac{|\vec v \cdot \vec n|}{|\vec v||\vec n|}$; ángulo entre planos: $\cos\theta = \dfrac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$.
Área del paralelogramo: $|\vec u \times \vec v|$; área del triángulo: mitad de esa cantidad.
Volumen del paralelepípedo: $|\vec u \cdot (\vec v \times \vec w)|$; volumen del tetraedro: la sexta parte.
Distancia entre rectas paralelas o que se cruzan: $d(r,s) = \dfrac{|[\vec v, \vec w, \overrightarrow{AP}]|}{|\vec v \times \vec w|}$, donde $\vec v$ y $\vec w$ son los vectores directores y $A$, $P$ puntos de cada recta.
1. Calcula la distancia del punto $P(1, 0, 0)$ al plano $\pi: x + y + z = 0$. (Aproxima con dos decimales.)
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $d(P,\pi) = \dfrac{|1 + 0 + 0|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$, es decir, aproximadamente $0.58$.
2. Calcula la distancia entre los puntos $A(1, 2, 3)$ y $B(4, 6, 3)$.
(1.5 puntos)
3. La recta $r: (x,y,z) = (0,0,0) + t(1,0,0)$ forma un ángulo con el plano $\pi: x+y+z=0$. Calcula el seno de ese ángulo. (Aproxima con dos decimales.)
(1.5 puntos)
4. ¿Con qué fórmula se calcula la distancia de un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ a un plano $ax+by+cz+d=0$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: La distancia de un punto a un plano es $d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
5. Sea el triángulo de vértices $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$ y $C(0,1,0)$. Responde a los dos apartados:
(2 puntos)
a
)
Apartado a): Calcula el módulo del producto vectorial $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$.
b
)
Apartado b): Calcula el área del triángulo.
Retroalimentación:
6. Calcula el volumen del tetraedro de vértices $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(0,1,0)$ y $D(0,0,3)$.
(1 punto)
Retroalimentación: El volumen es $\dfrac{1}{6}$ del valor absoluto del producto mixto: $\dfrac{1}{6}\left|\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix}\right| = \dfrac{3}{6} = 0.5$.
7. El ángulo entre dos planos es el ángulo que forman sus vectores...
(1 punto)
Retroalimentación: El ángulo entre dos planos coincide con el ángulo entre sus vectores normales: $\cos\theta = \dfrac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$.