Dos rectas $r$ y $s$ en el espacio pueden ocupar cuatro posiciones relativas:
Posición
Condición
Paralelas
Vectores directores proporcionales y sin puntos comunes
Secantes
Se cortan en un punto (son coplanarias)
Coincidentes
Mismos puntos (misma recta)
Se cruzan
No son paralelas ni se cortan: no son coplanarias
Para comprobar que dos rectas se cruzan basta con ver que sus vectores directores no son proporcionales y que el sistema que iguala sus ecuaciones paramétricas no tiene solución.
Fórmula de la distancia
Sean $r$ y $s$ dos rectas que se cruzan, con vectores directores $\vec u$ y $\vec v$, y puntos $A \in r$ y $B \in s$. La distancia entre ellas es:
$$
d(r,s) = \frac{\left| [\vec u, \vec v, \overrightarrow{AB}] \right|}{\left| \vec u \times \vec v \right|}
$$
donde $[\vec u, \vec v, \overrightarrow{AB}]$ es el producto mixto (el determinante de las tres coordenadas) y $\vec u \times \vec v$ es el producto vectorial.
Interpretación geométrica: el numerador es el volumen del paralelepípedo que generan los tres vectores y el denominador es el área de su base; el cociente da la altura, que es precisamente la longitud del segmento perpendicular común a ambas rectas.
Método alternativo
1. Se construye el plano $\pi$ que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ (usando el punto de $r$ y los dos directores).
2. La distancia entre las rectas coincide con la distancia de un punto de $s$ al plano $\pi$:
Paso 1 — ¿Se cruzan? $\vec u = (1,1,0)$ y $\vec v = (0,0,1)$ no son proporcionales, luego no son paralelas. Igualando $1 + t = 0$ se obtiene $t = -1$, pero entonces $y = -1 \neq 1$: no se cortan. Se cruzan.
Usar la fórmula con $\vec u \times \vec v = \vec 0$: la fórmula solo vale para rectas que se cruzan (no paralelas).
Olvidar el valor absoluto del producto mixto: la distancia es siempre positiva.
Confundir la distancia entre rectas que se cruzan con la distancia entre rectas paralelas (que se calcula como la distancia de un punto de una recta a la otra).
No simplificar el resultado: $2/\sqrt{2} = \sqrt{2}$, no dejar la raíz en el denominador.
1. Dos rectas en el espacio que se cruzan cumplen que:
(1 puntos)
Retroalimentación: Las rectas que se cruzan no están contenidas en un mismo plano (no son coplanarias) y, por tanto, tampoco se cortan. Las rectas paralelas o secantes sí son coplanarias.
2. La distancia entre dos rectas que se cruzan, con directores $\vec u$, $\vec v$ y puntos $A \in r$, $B \in s$, viene dada por:
(1 puntos)
Retroalimentación: La distancia es el cociente entre el valor absoluto del producto mixto (volumen del paralelepípedo) y el módulo del producto vectorial (área de la base): $d = \dfrac{\left|[\vec u, \vec v, \overrightarrow{AB}]\right|}{\left|\vec u \times \vec v\right|}$.
3. Sean $r: (1,0,1) + t(1,1,0)$ y $s: (0,1,0) + s(0,0,1)$. ¿Cuál es la distancia entre ellas?
(1 puntos)
Retroalimentación: Con $A=(1,0,1)$ y $B=(0,1,0)$, $\overrightarrow{AB}=(-1,1,-1)$. El producto mixto vale $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -2$ y $\left|\vec u \times \vec v\right| = \sqrt{2}$. Por tanto $d = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
4. Si el producto mixto $[\vec u, \vec v, \overrightarrow{AB}] = 0$, entonces las rectas $r$ y $s$:
(1 puntos)
Retroalimentación: El producto mixto nulo significa que los tres vectores son linealmente dependientes, es decir, coplanarios: las rectas están en un mismo plano (se cortan o son paralelas), luego NO se cruzan.
5. Sean las rectas $r: (0,0,0) + t(1,0,0)$ (eje OX) y $s: (0,0,3) + s(0,1,0)$. Responde:
(2 puntos)
a
)
Apartado a): Con $\vec u = (1,0,0)$ y $\vec v = (0,1,0)$, ¿cuánto vale el módulo de $\vec u \times \vec v$?
b
)
Apartado b): Si $A = (0,0,0) \in r$ y $B = (0,0,3) \in s$, calcula la distancia entre las rectas.
Retroalimentación: Recuerda la fórmula $d = \dfrac{\left|[\vec u, \vec v, \overrightarrow{AB}]\right|}{\left|\vec u \times \vec v\right|}$: primero se calcula el módulo del producto vectorial y después se divide el valor absoluto del producto mixto entre ese módulo.
6. El segmento perpendicular común a dos rectas que se cruzan:
(1 puntos)
Retroalimentación: El segmento perpendicular común es el único segmento que une un punto de $r$ con un punto de $s$ siendo perpendicular a ambas rectas a la vez; su longitud es, por definición, la distancia entre las rectas.