Integrales — 2º Bachillerato Académicas
Primitivas inmediatas: $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$, $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$, $\int e^x\,dx = e^x + C$, $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$.
Integración por partes: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ (útil para $x^n e^x$, $x^n \ln x$, $x^n \sin x$...).
Cambio de variable: $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ con $u = g(x)$.
Regla de Barrow: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.
Área entre $f$ y $g$ en $[a,b]$: $\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$, tomando los puntos de corte como límites de integración.
2. Calcula la integral definida $\int_0^1 (2x + 1)\,dx$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Por Barrow: $\int_0^1 (2x+1)\,dx = [x^2 + x]_0^1 = (1 + 1) - (0 + 0) = 2$.
3. Calcula la integral definida $\int_0^1 x\,e^x\,dx$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Por partes, $\int x e^x\,dx = e^x(x-1)$. Aplicando Barrow: $\left[e^x(x-1)\right]_0^1 = e^1(0) - e^0(-1) = 0 + 1 = 1$.
4. Calcula la integral definida $\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Con el cambio $u = x^2+1$ (entonces $du = 2x\,dx$): $\int_1^2 u^3\,du = \left[\dfrac{u^4}{4}\right]_1^2 = \dfrac{16}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{15}{4} = 3.75$.
5. Se considera la región limitada por la parábola $y = x^2$ y la recta horizontal $y = 4$. Responde a los dos apartados:
(2 puntos)
Retroalimentación:
7. ¿Cuál es la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{1}{x}$ (en intervalos donde no se anula)?
(1 punto)
Retroalimentación: $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$, con el valor absoluto para que la fórmula valga también para $x < 0$.