Área y signo de la integral

La integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ es un área con signo: cuenta positiva el área por encima del eje OX y negativa el área por debajo. Por eso:

  • Si $f(x) \geq 0$ en $[a,b]$, el área es directamente $\int_a^b f(x)\,dx$.
  • Si $f(x) \leq 0$ en $[a,b]$, el área es $-\int_a^b f(x)\,dx$, o lo que es lo mismo, $\int_a^b |f(x)|\,dx$.
  • Si $f$ cambia de signo, se separa el intervalo en los puntos donde $f(x) = 0$ y se suman los valores absolutos.

Área total: para cualquier función continua en $[a,b]$,

$$ \text{Área} = \int_a^b \left| f(x) \right| \, dx $$

Procedimiento general

1. Hallar los ceros de $f$ en $[a,b]$: resolver $f(x) = 0$. 2. Dividir $[a,b]$ en subintervalos donde $f$ no cambia de signo. 3. Calcular $\int |f|$ como suma de integrales con el signo adecuado en cada subintervalo. 4. Si la pregunta pide la integral definida, se respeta el signo; si pide el área, se usa el valor absoluto.

Ejemplo 1: función positiva

área bajo $f(x) = x^2$ entre $x = 0$ y $x = 2$

Como $x^2 \geq 0$ en $[0,2]$:

$$ \text{Área} = \int_0^2 x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \approx 2{,}67 \text{ u}^2 $$

Ejemplo 2: función negativa

área bajo $f(x) = x^2 - 4$ entre $x = 0$ y $x = 2$

En $[0,2]$ se tiene $x^2 - 4 \leq 0$ (por ejemplo, $f(0) = -4$). El área es:

$$ \text{Área} = \int_0^2 (4 - x^2)\,dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \approx 5{,}33 \text{ u}^2 $$

Obsérvese que la integral $\int_0^2 (x^2 - 4)\,dx = -\frac{16}{3}$ es negativa: el área es su valor absoluto.

Ejemplo 3: la función cambia de signo

área total de $f(x) = x^3$ entre $x = -1$ y $x = 1$

$f(x) = x^3$ se anula en $x = 0$ (dentro del intervalo). Se descompone:

$$ \text{Área} = \int_{-1}^{0} (-x^3)\,dx + \int_0^1 x^3\,dx = \left[-\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \text{ u}^2 $$

En cambio, la integral definida $\int_{-1}^{1} x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$: las dos áreas con signo se anulan.

Errores comunes

  • Confundir área (siempre positiva) con integral definida (puede ser negativa).
  • No comprobar si la función corta al eje OX dentro del intervalo de integración.
  • Olvidar la unidad de superficie (u$^2$) en los resultados de área.

1. El área encerrada por $f(x) = x^2$, el eje OX y las rectas $x = 0$ y $x = 2$ es: (1 puntos)

2. Si $f(x) \leq 0$ en todo $[a,b]$, el área comprendida entre la gráfica de $f$, el eje OX y las rectas $x = a$ y $x = b$ vale: (1 puntos)

3. Calcula el área encerrada por $f(x) = 3x^2$, el eje OX y las rectas $x = 0$ y $x = 1$. (Redondea a 2 decimales) (1 puntos)

4. Calcula el área (positiva) comprendida entre $f(x) = x^2 - 4$, el eje OX y las rectas $x = 0$ y $x = 2$. (Redondea a 2 decimales) (1 puntos)

5. La integral $\int_{-1}^{1} x^3\,dx$ vale $0$ porque: (1 puntos)

6. Sea $f(x) = x^3 - x$ en el intervalo $[-1, 1]$. Responde: (2 puntos)

a ) Apartado a): ¿Cuántos puntos de corte con el eje OX tiene $f$ en $[-1,1]$?

b ) Apartado b): ¿Cuánto vale la integral $\int_{-1}^{1} (x^3 - x)\,dx$?