Límites y continuidad — 2º Bachillerato Académicas

Límites en el infinito de funciones racionales: se comparan los grados de numerador y denominador; el límite es el cociente de coeficientes de mayor grado si los grados son iguales.

Indeterminaciones habituales: $\dfrac{0}{0}$ y $\dfrac{\infty}{\infty}$ se resuelven simplificando, usando la regla de L'Hôpital o dividiendo por la mayor potencia. Límites notables: $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x} = 1$, $\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}$.

Continuidad en $x=a$: $\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = f(a)$. Si no se cumple, hay una discontinuidad (evitable, de salto finito o de salto infinito).

Teorema de Bolzano: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)\,f(b) < 0$, existe $c \in (a,b)$ con $f(c) = 0$.

Asíntotas verticales: $x=a$ si $\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$.

1. Calcula el límite $\lim_{x\to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}$. (1.5 puntos)

2. Calcula el límite notable $\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}$. (1.5 puntos)

3. Calcula el límite $\lim_{x\to \infty} \dfrac{3x^2+1}{x^2-2x}$. (1.5 puntos)

4. ¿En qué punto es discontinua la función $f(x) = \dfrac{x+1}{x-3}$? (1 punto)

5. Dada la función $f(x) = \begin{cases} x^2+1 & \text{si } x < 1 \\ a & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$, responde a los dos apartados: (2 puntos)

a ) Apartado a): ¿Qué valor debe tomar $a$ para que $f$ sea continua en $x=1$?

b ) Apartado b): Con ese valor de $a$, ¿es $f$ derivable en $x=1$? (Responde 1 si es sí y 0 si es no.)

6. ¿Cuál es la asíntota vertical de la función $f(x) = \dfrac{x}{x-1}$? (1.5 puntos)

7. El teorema de Bolzano afirma que si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)f(b) < 0$, entonces existe $c \in (a,b)$ tal que... (1 punto)