Indeterminaciones

Al calcular límites aparecen expresiones cuyo valor no puede decidirse de forma directa: son las indeterminaciones. Hay siete tipos:

IndeterminaciónEjemplo
$0/0$$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}$
$\infty / \infty$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2+1}{x-1}$
$\infty - \infty$$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1} - x)$
$0 \cdot \infty$$\lim_{x \to 0^+} x \ln x$
$1^{\infty}$$\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x$
$\infty^0$$\lim_{x \to \infty} x^{1/x}$
$0^0$$\lim_{x \to 0^+} x^x$

Una indeterminación nunca es un resultado: solo indica que hay que transformar la expresión antes de calcular el límite.

Indeterminación $0/0$

Se resuelve factorizando el numerador y el denominador para simplificar el factor que se anula. Si hay raíces, se multiplica por el conjugado.

resuelto: $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$
$$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4 $$

Con raíces, por ejemplo $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1}{2} $$

También son muy útiles los infinitésimos equivalentes cuando $x \to 0$: $\sin x \sim x$, $\tan x \sim x$, $1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$, $e^x - 1 \sim x$, $\ln(1+x) \sim x$.

Indeterminación $\infty / \infty$

Se divide numerador y denominador por la mayor potencia de $x$ que aparezca. Si $P$ y $Q$ son polinomios:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \begin{cases} 0 & \text{si } \deg P < \deg Q \\ \dfrac{a}{b} & \text{si } \deg P = \deg Q \text{ (cociente de coeficientes)} \\ \pm\infty & \text{si } \deg P > \deg Q \end{cases} $$

Indeterminación $\infty - \infty$

Se multiplica y divide por el conjugado (si hay raíces) o se reduce a común denominador (si hay fracciones).

resuelto: $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1} - x)$
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+1} - x)(\sqrt{x^2+1} + x)}{\sqrt{x^2+1} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x} = 0 $$

Indeterminación $1^{\infty}$

Si $f(x) \to 1$ y $g(x) \to \infty$, entonces

$$ \lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x) \cdot (f(x) - 1)} $$

En particular, $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{k}{x}\right)^x = e^k$. El caso básico es el número e: $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e$.

Indeterminaciones $\infty^0$ y $0^0$

Se toman logaritmos: si $L = \lim f(x)^{g(x)}$, entonces $\ln L = \lim g(x) \cdot \ln f(x)$, reduciendo el problema a una indeterminación $0 \cdot \infty$.

Errores comunes

  • Escribir como resultado $0/0$ o $\infty/\infty$: la indeterminación debe resolverse.
  • Aplicar $\lim f^g = (\lim f)^{\lim g}$ cuando hay indeterminación: es incorrecto.
  • Confundir $1^{\infty}$ con $1^k = 1$: solo cuando el exponente tiende a un número finito.

1. ¿Qué indeterminación presenta el límite $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2+1}{x-1}$? (1 puntos)

2. Calcula el límite $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-9}{x-3}$. (1 puntos)

3. Calcula el límite $\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2-3}{x^2+5x}$. (1 puntos)

4. El límite $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^x$ vale: (1 puntos)

5. Calcula el límite $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{x}$. (1 puntos)

6. Para resolver la indeterminación de $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x} - x)$, el método adecuado es: (1 puntos)

7. Calcula el límite $\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}$. (1 puntos)