Suma y producto por un escalar: se operan elemento a elemento. Producto $A\cdot B$: posible si el número de columnas de $A$ coincide con el de filas de $B$; el elemento $(i,j)$ es la suma de los productos de la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$. El producto de matrices no es conmutativo.
Matriz inversa: $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\text{adj}(A)^T$, existe si $|A| \neq 0$. Se cumple $A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I$.
Potencia de matrices: se calcula iterando el producto; a veces aparecen ciclos (por ejemplo $A^2 = I$, o $A^k = A$ según la paridad de $k$).
Rango: orden del mayor menor no nulo. La matriz traspuesta $A^T$ intercambia filas por columnas.
Ecuaciones matriciales: $X\cdot A = B \Rightarrow X = B\cdot A^{-1}$; $A\cdot X = B \Rightarrow X = A^{-1}\cdot B$ (siempre que exista la inversa).
1. Para poder calcular el producto $A \cdot B$, el número de columnas de $A$ debe coincidir con:
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Para multiplicar $A\cdot B$, las columnas de $A$ deben coincidir con las filas de $B$. Si $A$ es $m\times n$ y $B$ es $n\times p$, el producto es $m\times p$.
2. Dadas $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, calcula el elemento de la fila 1 y columna 1 de $A\cdot B$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $A\cdot B = \begin{pmatrix} 1\cdot0+2\cdot1 & 1\cdot1+2\cdot0 \\ 3\cdot0+4\cdot1 & 3\cdot1+4\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$. El elemento (1,1) es 2.
3. Dada $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, calcula el elemento de la fila 2 y columna 2 de la matriz inversa $A^{-1}$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: La inversa de una matriz diagonal es la matriz diagonal con los inversos: $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}$. El elemento (2,2) es $1/3 \approx 0.33$.
4. Si $A$ es una matriz de dimensión $3 \times 4$, ¿cuántas filas tiene su traspuesta $A^T$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: La traspuesta intercambia filas y columnas: si $A$ es $3\times 4$, entonces $A^T$ es $4\times 3$, es decir, tiene 4 filas.
5. Sea $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Responde a los dos apartados:
(2 puntos)
a
)
Apartado a): ¿Es $A^2$ la matriz identidad? (Responde 1 si es sí y 0 si es no.)
b
)
Apartado b): ¿Cuánto vale el elemento de la fila 1 y columna 2 de $A^{2025}$?
Retroalimentación:
6. Calcula el rango de la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
(1 punto)
Retroalimentación: Las filas primera y segunda son proporcionales, pero existe un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2$. El rango es 2.
7. ¿Cómo se llama la matriz que, al multiplicarla por otra matriz, la deja igual?
(1 punto)
Retroalimentación: La matriz identidad $I$ cumple $A\cdot I = I\cdot A = A$ para toda matriz $A$ compatible.