Rectas y planos en el espacio — 2º Bachillerato Académicas
Una recta queda determinada por un punto y un vector director; un plano, por un punto y dos vectores directores linealmente independientes, o por un punto y su vector normal.
Ecuaciones de la recta: paramétricas $(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t(v_1,v_2,v_3)$; implícitas (intersección de dos planos).
Ecuación del plano: $ax + by + cz + d = 0$, donde $(a,b,c)$ es el vector normal.
Posiciones relativas recta-plano: se sustituye la recta en el plano; si la ecuación resultante tiene solución única se cortan en un punto, si es identidad la recta está contenida y si es absurda son paralelos.
Posiciones relativas de dos rectas: coincidentes, paralelas, secantes (se cortan en un punto) o que se cruzan (no comparten punto y no son paralelas).
Dos planos paralelos tienen vectores normales proporcionales.
1. Un plano en el espacio queda determinado por:
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Un plano necesita un punto y dos direcciones independientes (o, equivalentemente, un punto y su vector normal).
2. La recta $r: (x,y,z) = (1,0,0) + t(1,1,1)$ corta al plano $\pi: x+y+z=0$. Calcula la coordenada $x$ del punto de corte. (Aproxima con dos decimales.)
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Sustituyendo: $1+t+t+t = 1+3t = 0 \Rightarrow t = -1/3$. El punto es $(2/3, -1/3, -1/3)$, con $x \approx 0.67$.
3. ¿Cuántos puntos de corte tiene la recta $r: (x,y,z) = (1,0,0) + t(1,-1,0)$ con el plano $\pi: x+y+z=0$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: El vector director $(1,-1,0)$ es perpendicular a la normal $(1,1,1)$ (su producto escalar es 0), y el punto $(1,0,0)$ no está en el plano. La recta es paralela al plano: 0 puntos de corte.
4. Sean las rectas $r: (x,y,z) = (1,0,0) + t(0,1,0)$ y $s: (x,y,z) = (0,1,0) + s(1,0,0)$. Responde a los dos apartados:
(2 puntos)
a
)
Apartado a): ¿Se cortan las dos rectas en un punto? (Responde 1 si es sí y 0 si es no.)
b
)
Apartado b): ¿Son perpendiculares? (Responde 1 si es sí y 0 si es no.)
Retroalimentación:
5. El plano que pasa por los puntos $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$ y $C(0,0,1)$ tiene ecuación $x+y+z = d$. ¿Cuánto vale $d$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Sustituyendo cualquiera de los puntos, por ejemplo $A$: $1+0+0 = d \Rightarrow d = 1$. El plano es $x+y+z=1$.
6. La recta intersección de los planos $x = 0$ e $y = 0$ es...
(1 punto)
Retroalimentación: Los puntos que cumplen $x=0$ e $y=0$ son de la forma $(0,0,z)$: el eje Z (OZ).
7. Si dos planos son paralelos, sus vectores normales son...
(1 punto)
Retroalimentación: Dos planos paralelos tienen vectores normales proporcionales (paralelos entre sí).