Teorema de Rouché-Fröbenius: sea $r = \text{rango}(A)$ y $r' = \text{rango}(A|B)$. Si $r \neq r'$ el sistema es incompatible; si $r = r'$ es compatible (determinado si $r$ coincide con el número de incógnitas, e indeterminado con $n - r$ grados de libertad si es menor).
Método de Gauss: se transforma el sistema en otro escalonado equivalente mediante combinaciones lineales de ecuaciones.
Regla de Cramer: $x_i = \dfrac{|A_i|}{|A|}$ para sistemas compatibles determinados (cuadrados con $|A| \neq 0$).
Sistemas homogéneos: siempre compatibles (la solución nula existe); son compatibles determinados si $|A| \neq 0$ e indeterminados si $|A| = 0$.
Discusión con parámetros: se estudia para qué valores del parámetro el determinante de la matriz de coeficientes se anula y se analiza cada caso con Rouché.
1. Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas cumple $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A|B) = 3$. Según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es:
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Como los rangos no coinciden ($2 \neq 3$), el sistema es incompatible: no tiene solución.
2. Resuelve el sistema $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$. ¿Cuánto vale $x$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Sumando las dos ecuaciones: $2x = 4 \Rightarrow x = 2$. (Comprobación: $y = 1$.)
3. Dado el sistema escalonado $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ y + z = 4 \\ z = 2 \end{cases}$, calcula el valor de $x$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: De $z = 2$ se obtiene $y + 2 = 4 \Rightarrow y = 2$, y entonces $x + 2 + 2 = 6 \Rightarrow x = 2$.
4. Dado el sistema $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = a \end{cases}$, responde a los dos apartados:
(2 puntos)
a
)
Apartado a): ¿Para qué valor de $a$ es el sistema compatible?
b
)
Apartado b): Con $a = 6$, ¿cuántas soluciones tiene el sistema? (Responde 1 si es única, 2 si son infinitas y 3 si no tiene.)
Retroalimentación:
5. El sistema homogéneo $\begin{cases} x + y = 0 \\ 2x + 2y = 0 \end{cases}$ tiene:
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Las dos ecuaciones son proporcionales; cualquier punto de la recta $y = -x$ es solución. Hay infinitas soluciones.
6. Resuelve por Cramer (o por reducción) el sistema $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$. ¿Cuánto vale $x$?
(1 punto)
Retroalimentación: De la primera y tercera ecuación: $2x + 2y = 6 \Rightarrow x + y = 3$. De la primera menos la segunda: $2y = 4 \Rightarrow y = 2$, luego $x = 1$ (y $z = 3$).
7. Si $\text{rango}(A) = \text{rango}(A|B)$ y ambos coinciden con el número de incógnitas, el sistema es...
(1 punto)
Retroalimentación: Por Rouché-Fröbenius, si los rangos coinciden con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado: tiene solución única.