Las matrices se suman elemento a elemento y el producto $A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}$ solo puede calcularse si el número de columnas de $A$ coincide con el número de filas de $B$. Si $\det A \neq 0$, la matriz inversa es $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\,\mathrm{Adj}(A)^T$.
Un sistema $AX = B$ con $n$ incógnitas es compatible determinado si $\mathrm{rango}(A) = \mathrm{rango}(A|B) = n$; compatible indeterminado si ambos rangos coinciden pero son menores que $n$; e incompatible si los rangos difieren (teorema de Rouché-Fröbenius).
Por la regla de Cramer, cada incógnita vale $x_i = \dfrac{\det A_i}{\det A}$, donde $A_i$ se obtiene sustituyendo la columna $i$ de $A$ por el vector de términos independientes.
1. Dadas dos matrices cuadradas $A$ y $B$ de orden 2, ¿cuál de las siguientes igualdades es siempre cierta?
(1 punto)
Retroalimentación: La traspuesta de un producto invierte el orden de los factores: $(A\cdot B)^T = B^T\cdot A^T$.
2. Dadas $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, calcula el elemento de la fila 1, columna 2 del producto $A\cdot B$.
(1.5 puntos)
3. Halla la matriz inversa de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
(2 puntos)
a
)
Apartado a) Elemento de la fila 1, columna 1 de $A^{-1}$
b
)
Apartado b) Elemento de la fila 2, columna 2 de $A^{-1}$
Retroalimentación:
4. El sistema de ecuaciones $x + y = 3$, $2x + 2y = 6$ es...
(1.5 puntos)
Retroalimentación: La segunda ecuación es el doble de la primera, así que $\mathrm{rango}(A) = \mathrm{rango}(A|B) = 1 < 2$ (número de incógnitas): el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones.
5. Resuelve por la regla de Cramer el sistema $x + y = 5$, $x - y = 1$.
(2 puntos)
a
)
Apartado a) Valor de $x$
b
)
Apartado b) Valor de $y$
Retroalimentación:
6. Resuelve por el método de Gauss el sistema $x + 2y = 5$, $2x + y = 4$. ¿Cuánto vale $x$?
(2 puntos)
Retroalimentación: Restando 2 veces la primera ecuación de la segunda: $-3y = -6$, de donde $y = 2$. Sustituyendo, $x + 4 = 5$, luego $x = 1$.