Derivadas — 2º Bachillerato Aplicadas

Reglas básicas: $(x^n)' = n\,x^{n-1}$, $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = 1/x$, $(u \pm v)' = u' \pm v'$, $(u\cdot v)' = u'v + uv'$, $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, regla de la cadena $(f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)$.

Crecimiento y extremos: si $f' > 0$ la función crece y si $f' < 0$ decrece. En los puntos donde $f' = 0$ hay extremos relativos; con $f''$ se distingue máximo ($f'' < 0$) de mínimo ($f'' > 0$).

Aplicaciones a economía: maximizar beneficios o minimizar costes derivando e igualando a cero la función correspondiente.

1. Dada $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$, calcula $f'(2)$. (1.5 puntos)

2. Dada $f(x) = (2x + 1)(x - 3)$, calcula $f'(2)$. (1.5 puntos)

3. Dada $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$, calcula $f'(2)$. (1.5 puntos)

4. Estudia los extremos relativos de $f(x) = x^3 - 3x$. (2 puntos)

a ) Apartado a) ¿En qué valor de $x$ hay un máximo relativo?

b ) Apartado b) ¿En qué valor de $x$ hay un mínimo relativo?

5. Si $f'(x) > 0$ en todo un intervalo, entonces $f$ es... (1 punto)

6. El beneficio de una empresa (en miles de euros) al vender $x$ unidades es $B(x) = -x^2 + 40x - 300$. (2 puntos)

a ) Apartado a) ¿Cuántas unidades maximizan el beneficio?

b ) Apartado b) ¿Cuál es el beneficio máximo?

7. Dada $f(x) = e^{2x}$, calcula $f'(0)$. (0.5 puntos)