Problemas de optimización

Qué significa optimizar

Optimizar consiste en encontrar el valor de una magnitud que hace máxima o mínima otra magnitud. La variable debe representar una cantidad posible, por lo que siempre hay que indicar su dominio.

Método general

1. Define la variable y sus unidades. 2. Escribe la restricción que relaciona los datos del problema. 3. Construye la función objetivo con una sola variable. 4. Determina el intervalo de valores posibles. 5. Calcula la derivada e iguala a cero: $f'(x)=0$. 6. Comprueba si el punto crítico es máximo o mínimo mediante el signo de $f'$ o la segunda derivada. 7. Interpreta la solución y escribe las unidades.

Área máxima de un rectángulo

Se dispone de 40 m de valla para cerrar tres lados de un terreno rectangular apoyado en una pared. Si $x$ es el lado perpendicular a la pared, el lado paralelo mide $40-2x$ y el área es:

$$ A(x)=x(40-2x)=40x-2x^2 $$

El dominio físico es $0

$$ A'(x)=40-4x=0\Rightarrow x=10 $$

Como $A''(x)=-4<0$, se trata de un máximo. El lado paralelo mide $40-2\cdot10=20$ m y el área máxima es $200$ m$^2$.

Costes, ingresos y beneficios

Si $C(x)$ es el coste y $I(x)$ el ingreso por vender $x$ unidades, el beneficio es:

$$ B(x)=I(x)-C(x) $$

Para maximizar el beneficio se estudian los puntos críticos de $B$. En economía, el coste marginal es $C'(x)$ y el ingreso marginal es $I'(x)$. En un máximo interior suele cumplirse $I'(x)=C'(x)$.

beneficio máximo

Una empresa tiene $I(x)=50x$ y $C(x)=x^2+10x+100$. Entonces:

$$ B(x)=50x-(x^2+10x+100)=-x^2+40x-100 $$

$B'(x)=-2x+40=0$ da $x=20$. Como $B''(x)=-2<0$, el beneficio es máximo. Su valor es $B(20)=300$ unidades monetarias.

Comprobación de extremos

Si el dominio es cerrado, como $[a,b]$, hay que comparar también $f(a)$ y $f(b)$ con los valores de los puntos críticos. Un punto donde $f'(x)=0$ no es automáticamente un máximo ni un mínimo.

Errores frecuentes

Optimizar una magnitud distinta de la que pregunta el enunciado.
No usar la restricción para dejar la función con una sola variable.
Aceptar valores negativos o incompatibles con las medidas.
No comprobar el tipo de extremo ni los extremos del intervalo.
Dar un resultado sin unidades o sin interpretar qué representa la variable.