Estimación. Intervalos de confianza — 2º Bachillerato Aplicadas

Tipificación: si $X \sim N(\mu, \sigma)$, entonces $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$.

Intervalo de confianza para la media (con $\sigma$ conocida): $\left(\bar{x} - z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\; \bar{x} + z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$.

Intervalo de confianza para la proporción: $\left(\hat{p} - z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\; \hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)$.

Tamaño muestral para la media: $n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2$, redondeando por exceso.

1. Una variable aleatoria sigue una distribución $N(50, 10)$. Tipifica el valor $x = 65$: calcula $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$. (1.5 puntos)

2. Si $X \sim N(10, 2)$, calcula $P(X < 12)$ (usa que $P(Z < 1) = 0{,}8413$). (2 puntos)

3. Se toma una muestra de $n = 100$ observaciones con media $\bar{x} = 30$ y desviación típica poblacional $\sigma = 4$. Construye el intervalo de confianza al 95% (usa $z = 1{,}96$). (2 puntos)

a ) Apartado a) Calcula el error máximo $E = z\,\sigma/\sqrt{n}$

b ) Apartado b) ¿Cuál es el extremo inferior del intervalo?

4. Se desea estimar una media poblacional con desviación típica $\sigma = 5$, con un nivel de confianza del 95% ($z = 1{,}96$) y un error máximo de $E = 0{,}5$. ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra? (2 puntos)

5. Al aumentar el tamaño muestral (sin cambiar el nivel de confianza), la amplitud del intervalo de confianza... (1 punto)

6. En una encuesta a $n = 400$ personas, 120 se declaran favorables a cierta medida. Construye el intervalo de confianza al 95% para la proporción (usa $z = 1{,}96$). (1.5 puntos)

a ) Apartado a) Calcula la proporción muestral $\hat{p}$

b ) Apartado b) ¿Cuál es el extremo superior del intervalo?