Intervalo para una media

Si la población es normal, se conoce $\sigma$ y se dispone de una muestra de tamaño $n$, un intervalo de confianza para la media $\mu$ es:

$$ \left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\;\bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right) $$

El valor $z_{\alpha/2}$ depende del nivel de confianza: para 90 % vale aproximadamente 1,645; para 95 %, 1,96; para 99 %, 2,576.

El margen de error es $E=z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt n$. El intervalo se escribe $\bar{x}\pm E$.

al 95 %

Con $\bar{x}=30$, $\sigma=4$ y $n=100$:

$$ E=1,96\dfrac{4}{10}=0,784 $$

Por tanto, el intervalo es $(29,216;30,784)$. Se interpreta como un procedimiento que, al repetirse muchas veces, produce intervalos que contienen la media poblacional aproximadamente el 95 % de las veces.

Interpretación

No significa que la media tenga un 95 % de probabilidad de estar en un intervalo ya calculado. La confianza se refiere al método de construcción. A mayor nivel de confianza o desviación típica, mayor amplitud; a mayor tamaño muestral, menor amplitud.

1. Con $\bar{x}=50$, $\sigma=10$, $n=100$ y $z=1,96$, calcula el margen de error. (1 puntos)

2. En el caso anterior, ¿cuál es el extremo inferior del intervalo? (1 puntos)

3. ¿Qué ocurre con el margen de error al aumentar n? (1 puntos)

4. Para un 99 % de confianza frente a un 95 %, manteniendo todo lo demás, el intervalo es: (1 puntos)