Intervalo para una proporción
Si en una muestra de tamaño $n$ hay $x$ individuos con la característica estudiada, la proporción muestral es $\hat{p}=x/n$. Para muestras suficientemente grandes, un intervalo de confianza para la proporción poblacional $p$ es:
$$
\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\;\hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)
$$
El error máximo es:
$$
E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
$$
Ejemplo
En una muestra de 400 personas, 120 apoyan una propuesta. Entonces $\hat{p}=120/400=0,3$. Al 95 %, con $z=1,96$:
$$
E=1,96\sqrt{\dfrac{0,3\cdot0,7}{400}}\approx0,0712
$$
El intervalo aproximado es $(0,2288;0,3712)$, es decir, entre el 22,88 % y el 37,12 %.
Interpretación y condiciones
El intervalo estima la proporción de la población, no solo de la muestra. La aproximación normal es razonable cuando $n\hat{p}$ y $n(1-\hat{p})$ son suficientemente grandes. Si se exige más confianza, el intervalo se amplía; si aumenta $n$, se estrecha.