Inecuaciones y programación lineal — 2º Bachillerato Aplicadas
Una inecuación lineal $ax + by \leq c$ representa un semiplano. La región factible es la intersección de todos los semiplanos de las restricciones (incluyendo $x \geq 0$, $y \geq 0$).
Los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan.
Teorema fundamental de la programación lineal: el máximo o el mínimo de la función objetivo $z = ax + by$ sobre una región factible acotada se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la función es paralela a él). Se evalúa $z$ en todos los vértices.
1. La región factible de un problema de programación lineal es...
(1 punto)
Retroalimentación: La región factible es la intersección de todos los semiplanos definidos por las restricciones, incluidas $x \geq 0$ e $y \geq 0$.
2. Resuelve la inecuación $2x - 10 < 0$. ¿Cuál es el mayor número entero que la cumple?
(1 punto)
Retroalimentación: $2x < 10$, luego $x < 5$. El mayor entero menor que 5 es $4$.
3. Las rectas $x + y = 6$ e $y = 2x$ se cortan en un punto de coordenadas $(2, k)$. ¿Cuánto vale $k$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Sustituyendo $y = 2x$ en $x + y = 6$: $3x = 6$, luego $x = 2$ e $y = 4$, así que $k = 4$.
4. Considera la región factible dada por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 4$, $y \leq x$.
(2 puntos)
a
)
Apartado a) ¿Cuántos vértices tiene la región factible?
b
)
Apartado b) ¿Cuál es el valor máximo de $z = x + 2y$ en esa región?
Retroalimentación:
5. Si la región factible es un polígono acotado, el máximo de la función objetivo $z = 3x + 4y$ se alcanza...
(1 punto)
Retroalimentación: Por el teorema fundamental de la programación lineal, el óptimo de una función lineal sobre una región factible acotada se alcanza en un vértice.
6. Un taller fabrica dos modelos de silla. Cada silla del modelo A necesita 2 h de carpintería y 1 h de barnizado; cada silla del modelo B, 1 h de carpintería y 2 h de barnizado. Se dispone de 8 h de carpintería y 7 h de barnizado al día. El beneficio es de 30 € por silla A y 40 € por silla B. Maximiza el beneficio con restricciones $2x + y \leq 8$, $x + 2y \leq 7$, $x \geq 0$, $y \geq 0$.
(2.5 puntos)
a
)
Apartado a) ¿Cuántas sillas del modelo A debe fabricar?
b
)
Apartado b) ¿Cuál es el beneficio máximo?
Retroalimentación:
7. Resuelve la doble inecuación $-2 \leq x + 1 \leq 3$. ¿Cuál es el mayor número entero que la cumple?
(1 punto)
Retroalimentación: Restando 1 en los tres miembros: $-3 \leq x \leq 2$. El mayor entero del intervalo es $2$.