Área bajo una función
Si $f(x)\geq0$ entre $a$ y $b$, el área bajo la curva es:
$$
A=\int_a^b f(x)dx
$$
Si la función cambia de signo, hay que localizar los puntos donde corta al eje y separar el intervalo. Para obtener área geométrica se usa el valor absoluto o se cambian de signo las partes negativas.
bajo una parábola
El área bajo $f(x)=4-x^2$ entre $-2$ y $2$ es:
$$
A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)dx=[4x-\dfrac{x^3}{3}]_{-2}^{2}=\dfrac{32}{3}
$$
La función es no negativa en ese intervalo, así que la integral ya es un área.
Área entre dos curvas
Si $f$ es la función superior y $g$ la inferior en $[a,b]$:
$$
A=\int_a^b[f(x)-g(x)]dx
$$
Los límites se obtienen resolviendo $f(x)=g(x)$. Si las curvas se cruzan dentro del intervalo, se divide el cálculo en las zonas correspondientes.
Entre $y=x$ e $y=x^2$ en $[0,1]$, la recta está por encima de la parábola. Por tanto:
Entre $y=x$ e $y=x^2$ en $[0,1]$, la recta está por encima de la parábola. Por tanto:
$$
A=\int_0^1(x-x^2)dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16
$$