Qué es una primitiva

Una función $F$ es una primitiva de $f$ en un intervalo si $F'(x)=f(x)$. La integral indefinida reúne todas las primitivas:

$$ \int f(x)\,dx=F(x)+C $$

La constante $C$ aparece porque todas las funciones $F(x)+C$ tienen la misma derivada.

Tabla básica

$$ \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq-1) $$
$$ \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C $$
$$ \int e^x\,dx=e^x+C $$
$$ \int \cos x\,dx=\sin x+C\quad\text{y}\quad\int \sin x\,dx=-\cos x+C $$

Los factores constantes pueden sacarse fuera de la integral y la integral de una suma es la suma de las integrales.

$$
$$ \int(6x^2-4x+5)\,dx=2x^3-2x^2+5x+C $$

Se integra cada término por separado y se comprueba derivando el resultado.

Comprobación

La forma más segura de comprobar una primitiva es derivarla. Si $F(x)=\dfrac{x^4}{4}-3x$, entonces $F'(x)=x^3-3$, por lo que es una primitiva de $x^3-3$.

1. ¿Qué representa la constante C en una integral indefinida? (1 puntos)

2. Calcula una primitiva de $3x^2$ evaluada en x=1, tomando C=0. (1 puntos)

3. Una primitiva de $1/x$ es: (1 puntos)

4. Calcula $\int_0^1 2x\,dx$. (1 puntos)