Reconocimiento de una función compuesta
Muchas integrales se resuelven identificando una función $u$ y su derivada $u'$. La regla básica es:
$$
\int u'(x)\,[u(x)]^n\,dx=\dfrac{[u(x)]^{n+1}}{n+1}+C
$$
También:
$$
\int\dfrac{u'(x)}{u(x)}\,dx=\ln|u(x)|+C
$$
$$
\int u'(x)e^{u(x)}\,dx=e^{u(x)}+C
$$
con sustitución
$$
\int2x(x^2+1)^3dx
$$
Tomamos $u=x^2+1$, de modo que $du=2x\,dx$. Entonces:
$$
\int u^3du=\dfrac{u^4}{4}+C=\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C
$$
Integración de funciones racionales sencillas
Si el numerador es proporcional a la derivada del denominador, aparece un logaritmo:
$$
\int\dfrac{2x}{x^2+4}dx=\ln(x^2+4)+C
$$
Conviene comprobar siempre derivando el resultado, especialmente cuando hay factores constantes.