Asíntota vertical

La recta $x=a$ es una asíntota vertical si al acercarse a $a$ por algún lado la función tiende a $+\infty$ o $-\infty$:

$$ \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty\quad\text{o}\quad\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty $$

En una función racional suele aparecer cuando se anula el denominador y no se cancela completamente el factor.

Asíntota horizontal

La recta $y=L$ es horizontal si:

$$ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L\quad\text{o}\quad\lim_{x\to-\infty}f(x)=L $$

En una función racional de igual grado, $L$ es el cociente de los coeficientes principales.

Para $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$, hay asíntota vertical $x=3$ y horizontal $y=2$.

Para $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$, hay asíntota vertical $x=3$ y horizontal $y=2$.

Asíntota oblicua

Si el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador, la función puede tener una asíntota $y=mx+n$. Se obtiene mediante división de polinomios.

Por ejemplo:

$$ \dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac1x $$

La asíntota oblicua es $y=x$ y hay una vertical en $x=0$.

Una función puede tener asíntotas horizontales distintas en cada dirección, pero no puede tener simultáneamente una horizontal y una oblicua en la misma dirección.

1. Para $f(x)=1/(x-4)$, ¿cuál es la asíntota vertical? (1 puntos)

2. Para $f(x)=(2x+1)/(x-3)$, ¿cuál es el valor de la asíntota horizontal y=L? (1 puntos)

3. Si el grado del numerador supera en uno al del denominador, puede existir una asíntota: (1 puntos)

4. La función $f(x)=x+1/x$ tiene asíntota oblicua: (1 puntos)