Continuidad en un punto

Una función $f$ es continua en $x=a$ si se cumplen simultáneamente:

1. Existe $f(a)$. 2. Existe $\lim_{x\to a}f(x)$. 3. $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Si es continua en todos los puntos de un intervalo, es continua en ese intervalo. Los polinomios son continuos en $\mathbb{R}$ y las funciones racionales lo son donde el denominador no se anula.

Continuidad lateral

En funciones definidas a trozos hay que comprobar que los límites laterales coinciden:

$$ \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a) $$
con parámetro

Sea $f(x)=\begin{cases}x+2 & x<1\\k x & x\geq1\end{cases}$. Para que sea continua en 1, el límite por la izquierda es 3 y el valor por la derecha es $k$. Por tanto, $k=3$.

Tipos de discontinuidad

  • Evitable: existe límite finito, pero el valor no existe o es diferente.
  • De salto: existen límites laterales finitos, pero no coinciden.
  • Infinita: algún límite lateral es infinito.

Teorema de Bolzano

Si una función continua en $[a,b]$ cambia de signo, entonces tiene al menos un cero en $(a,b)$. Este resultado permite asegurar la existencia de soluciones, aunque no siempre obtenerlas exactamente.

1. Para que f sea continua en a deben coincidir: (1 puntos)

2. Para que $f(x)=x+k$ sea continua en 2, si a la derecha vale 7 en x=2, ¿cuánto debe valer k? (1 puntos)

3. Si los límites laterales son finitos pero distintos, hay discontinuidad: (1 puntos)

4. El teorema de Bolzano requiere que la función sea: (1 puntos)