Suma y producto por un número se hacen elemento a elemento. El producto $A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}$ exige que el número de columnas de $A$ iguale al de filas de $B$; el elemento $(i,j)$ del producto es la suma de los productos de la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$.
La inversa de una matriz cuadrada existe si $\det A \neq 0$: $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\,\mathrm{Adj}(A)^T$.
El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes; se calcula con determinantes o por Gauss. El rango nunca supera al menor de sus órdenes (número de filas o de columnas).
1. ¿Qué condición debe cumplirse para poder calcular el producto $A\cdot B$?
(1 punto)
Retroalimentación: El producto $A\cdot B$ solo está definido si el número de columnas de $A$ es igual al número de filas de $B$.
2. Dadas $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, calcula el elemento de la fila 1, columna 2 de $A\cdot B$.
(1.5 puntos)
3. Halla la matriz inversa de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$.
(2 puntos)
a
)
Apartado a) Elemento de la fila 1, columna 1 de $A^{-1}$
b
)
Apartado b) Elemento de la fila 1, columna 2 de $A^{-1}$
Retroalimentación:
4. Calcula el rango de la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: La segunda fila es el doble de la primera, luego solo hay una fila independiente: el rango es $1$.
5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el producto de matrices es correcta?
(1 punto)
Retroalimentación: En general $A\cdot B \neq B\cdot A$; el producto de matrices no es conmutativo, aunque existen casos particulares en los que sí conmuta.
6. Halla la matriz $X$ que verifica $A\cdot X = B$, con $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}$.
(2 puntos)
a
)
Apartado a) Elemento de la fila 1, columna 1 de $X$
b
)
Apartado b) Elemento de la fila 2, columna 2 de $X$
Retroalimentación:
7. Dada $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, calcula el elemento de la fila 1, columna 2 de $B^2$.
(1 punto)