Un sistema $AX = B$ con $n$ incógnitas se resuelve por Gauss (triangulación de la matriz ampliada), por Cramer ($x_i = \dfrac{\det A_i}{\det A}$) o por sustitución.
Teorema de Rouché-Fröbenius: si $\mathrm{rango}(A) \neq \mathrm{rango}(A|B)$ el sistema es incompatible; si los rangos coinciden es compatible, y es determinado cuando $\mathrm{rango}(A) = n$ e indeterminado cuando $\mathrm{rango}(A) < n$ (quedan $n - \mathrm{rango}(A)$ incógnitas libres).
Con parámetros: se iguala $\det A$ a cero para localizar los valores que pueden cambiar la clasificación, y se estudia cada caso por separado.
1. Según el teorema de Rouché-Fröbenius, un sistema de $n$ incógnitas es compatible indeterminado cuando...
(1 punto)
Retroalimentación: Si los rangos coinciden pero son menores que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.
2. Resuelve por Gauss el sistema $2x + y = 5$, $x - y = 1$. ¿Cuánto vale $x$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Sumando las dos ecuaciones: $3x = 6$, luego $x = 2$. Sustituyendo, $y = 1$.
3. Resuelve por Cramer el sistema $3x + 2y = 7$, $x + y = 3$.
(2 puntos)
a
)
Apartado a) Valor de $x$
b
)
Apartado b) Valor de $y$
Retroalimentación:
4. ¿Para qué valor de $k$ el sistema $x + y = 2$, $kx + 3y = 6$ es compatible indeterminado?
(2 puntos)
Retroalimentación: $\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ k & 3 \end{vmatrix} = 3 - k = 0$ cuando $k = 3$. En ese caso la segunda ecuación es $3x + 3y = 6$, es decir $x + y = 2$, la misma que la primera: sistema compatible indeterminado.
5. Un sistema compatible de 2 ecuaciones y 3 incógnitas tiene rango 2. ¿Cuántas incógnitas libres tiene?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Las incógnitas libres son $n - \mathrm{rango}(A) = 3 - 2 = 1$.
6. Resuelve el sistema $y = 3x$, $x + y = 8$. ¿Cuánto vale $x$?
(2 puntos)
Retroalimentación: Sustituyendo $y = 3x$ en la segunda ecuación: $x + 3x = 8$, luego $4x = 8$ y $x = 2$.