Ecuaciones de Segundo Grado - 2º ESO

¿Qué es una ecuación de segundo grado?

Una ecuación de segundo grado es una ecuación que, simplificada, tiene la forma:

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

con $a \neq 0$. Los números $a$, $b$ y $c$ se llaman coeficientes y $x$ es la incógnita.

Ejemplo: en $2x^2 - 3x + 1 = 0$ tenemos $a = 2$, $b = -3$ y $c = 1$.

La fórmula general

Para resolver cualquier ecuación de segundo grado usamos la fórmula general:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

El signo $\pm$ indica que hay dos soluciones: una sumando y otra restando.

resuelto: $x^2 - 5x + 6 = 0$

Aquí $a = 1$, $b = -5$ y $c = 6$. Aplicamos la fórmula:

$$ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} $$

Con el $+$: $x = \frac{6}{2} = 3$
Con el $-$: $x = \frac{4}{2} = 2$

Las soluciones son $x = 3$ y $x = 2$. Comprobación: $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ ✓

El discriminante

El discriminante es la expresión que va dentro de la raíz:

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$

Discriminante	Número de soluciones
$\Delta > 0$	Dos soluciones distintas
$\Delta = 0$	Una solución doble
$\Delta < 0$	No tiene solución real

¿cuántas soluciones tiene $x^2 - 4x + 4 = 0$?

$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$. Tiene una solución doble: $x = \frac{4}{2} = 2$.

Ecuaciones incompletas

Si falta el término $bx$ (es decir, $b = 0$), se despeja directamente:

$$ x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 $$

Si falta el término independiente ($c = 0$), se saca factor común $x$:

$x^2 + 3x = 0$

$$ x(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{o} \quad x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 $$

Las soluciones son $x = 0$ y $x = -3$.

Errores comunes

Error	Incorrecto	Correcto
Olvidar el signo de $b$	$b = -5 \Rightarrow -b = -5$	$-b = 5$
No dividir todo por $2a$	$x = -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}$	$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Confundir la solución doble	"no tiene solución"	"tiene una solución doble"

Consejo: comprueba siempre ambas soluciones sustituyendo en la ecuación original.

1. En la ecuación $2x^2 - 3x + 1 = 0$, los coeficientes son: (1 puntos)

$a = 2$, $b = -3$, $c = 1$ $a = 2$, $b = 3$, $c = 1$ $a = -3$, $b = 2$, $c = 1$ $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$

Retroalimentación: En la forma $ax^2 + bx + c = 0$, comparando con $2x^2 - 3x + 1$: $a = 2$, $b = -3$ y $c = 1$.

2. Resuelve la ecuación incompleta $x^2 - 9 = 0$. ¿Cuál es la solución positiva? (1 puntos)

Retroalimentación: $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. La solución positiva es $x = 3$.

3. ¿Cuáles son las soluciones de $x^2 - 5x + 6 = 0$? (1 puntos)

$x = 2$ y $x = 3$ $x = -2$ y $x = -3$ $x = 1$ y $x = 6$ $x = 0$ y $x = 5$

Retroalimentación: Con $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$: $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$, es decir, $x = 3$ y $x = 2$.

4. Resuelve $x^2 + 6x = 0$. ¿Cuál es la solución distinta de cero? (1 puntos)

Retroalimentación: Sacamos factor común: $x(x + 6) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$.

5. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $x^2 - 4x + 4 = 0$? (1 puntos)

Una solución doble Dos soluciones distintas Ninguna solución real Infinitas soluciones

Retroalimentación: El discriminante es $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$, por lo que hay una solución doble: $x = 2$.

6. Calcula las soluciones positivas de estas ecuaciones incompletas: (1 puntos)

a ) $x^2 = 49$

b ) $x^2 - 16 = 0$

Retroalimentación: Las soluciones positivas son $x = 7$ y $x = 4$.

7. Aplicando la fórmula general a $x^2 + 2x - 3 = 0$, la primera operación dentro de la raíz es: (1 puntos)

$2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)$ $2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3$ $(-2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3$ $4 - 4 \cdot (-3) \cdot 1$

Retroalimentación: Con $a = 1$, $b = 2$, $c = -3$: el discriminante es $b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

8. ¿Cuál de estas ecuaciones tiene dos soluciones distintas? (1 puntos)

$x^2 + 2x + 1 = 0$ $x^2 - 3x + 2 = 0$ $x^2 + x + 1 = 0$ $x^2 + 4 = 0$

Retroalimentación: $x^2 - 3x + 2 = 0$ tiene $\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$: dos soluciones ($x = 2$ y $x = 1$). Las otras tienen $\Delta = 0$, $\Delta < 0$ y $\Delta < 0$ respectivamente.