Operaciones con Expresiones Algebraicas - 2º ESO

Suma y resta de monomios

Solo se pueden sumar o restar monomios semejantes (misma parte literal). Se suman los coeficientes y se deja la misma parte literal.

$$ 3x^2 + 5x^2 = 8x^2 \quad ; \quad 7ab - 2ab = 5ab $$

$4x^3 - 2x^3 + x^3$

Todos los términos son semejantes: $4 - 2 + 1 = 3$, luego el resultado es $3x^3$.

Importante: $3x^2 + 2x$ no se puede simplificar porque no son semejantes.

Multiplicación de monomios

Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales.

$$ 2x^3 \cdot 3x^2 = (2 \cdot 3) \cdot x^{3+2} = 6x^5 $$

$$ (-4a^2) \cdot (5a) = -20a^3 $$

Potencia de un monomio

Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes de las letras.

$$ (3x^2)^3 = 3^3 \cdot x^{2 \cdot 3} = 27x^6 $$

Suma de polinomios

Se suman los términos semejantes de cada polinomio.

$(3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 5x + 4)$

Términos con $x^2$: $3x^2 + x^2 = 4x^2$
Términos con $x$: $2x - 5x = -3x$
Términos independientes: $-1 + 4 = 3$

Resultado: $4x^2 - 3x + 3$

Producto de un monomio por un polinomio

Se aplica la propiedad distributiva: el monomio multiplica a cada término del polinomio.

$$ 2x \cdot (x^2 + 3x - 1) = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot 3x - 2x \cdot 1 = 2x^3 + 6x^2 - 2x $$

Producto de dos polinomios

Cada término de un polinomio multiplica a todos los términos del otro, y después se suman los semejantes.

$(x + 2)(x + 3)$

$x \cdot x = x^2$
$x \cdot 3 = 3x$
$2 \cdot x = 2x$
$2 \cdot 3 = 6$

Sumamos los semejantes: $x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

Identidades notables (importantes)

Identidad	Desarrollo
$(a + b)^2$	$a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2$	$a^2 - 2ab + b^2$
$(a + b)(a - b)$	$a^2 - b^2$

$(x + 3)^2$

$$ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 $$

Errores comunes

Error	Incorrecto	Correcto
Sumar monomios no semejantes	$3x^2 + 2x = 5x^2$	Se deja como $3x^2 + 2x$
Sumar exponentes al sumar	$x^2 + x^2 = x^4$	$x^2 + x^2 = 2x^2$
Olvidar la distributiva	$2(x + 3) = 2x + 3$	$2x + 6$

Consejo: suma y multiplica por separado los coeficientes y las partes literales.

1. ¿Cuál es el resultado de $3x^2 + 5x^2$? (1 puntos)

$8x^2$ $8x^4$ $15x^2$ $8x$

Retroalimentación: Son monomios semejantes: sumamos los coeficientes $3 + 5 = 8$ y mantenemos $x^2$: $8x^2$.

2. Calcula $4a + 7a - 2a$. ¿Cuál es el coeficiente del resultado? (1 puntos)

Retroalimentación: $4 + 7 - 2 = 9$, luego $4a + 7a - 2a = 9a$. El coeficiente es 9.

3. ¿Cuál es el resultado de $2x^3 \cdot 3x^2$? (1 puntos)

$6x^5$ $6x^6$ $5x^5$ $6x$

Retroalimentación: Multiplicamos coeficientes: $2 \cdot 3 = 6$, y sumamos exponentes: $3 + 2 = 5$. Resultado: $6x^5$.

4. El resultado de $(3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 5x + 4)$ es: (1 puntos)

$4x^2 - 3x + 3$ $4x^2 + 7x + 3$ $3x^2 - 3x + 3$ $4x^2 - 3x - 5$

Retroalimentación: Sumamos semejantes: $3x^2 + x^2 = 4x^2$; $2x - 5x = -3x$; $-1 + 4 = 3$. Resultado: $4x^2 - 3x + 3$.

5. ¿Cuál es el desarrollo de $(x + 2)(x + 3)$? (1 puntos)

$x^2 + 5x + 6$ $x^2 + 6x + 5$ $x^2 + 5x + 5$ $x^2 + 6$

Retroalimentación: $x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$.

6. El resultado de $2x \cdot (x^2 + 3x - 1)$ es: (1 puntos)

$2x^3 + 6x^2 - 2x$ $2x^3 + 3x - 1$ $2x^3 + 6x^2 - 1$ $2x^3 + 3x^2 - 2x$

Retroalimentación: Aplicamos la distributiva: $2x \cdot x^2 = 2x^3$, $2x \cdot 3x = 6x^2$, $2x \cdot (-1) = -2x$.

7. ¿Cuál es el desarrollo de la identidad notable $(x + 3)^2$? (1 puntos)

$x^2 + 6x + 9$ $x^2 + 9$ $x^2 + 6x + 3$ $x^2 + 3x + 9$

Retroalimentación: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.

8. Calcula $(3x^2)^2$. ¿Cuál es el exponente de $x$ en el resultado? (1 puntos)

Retroalimentación: $(3x^2)^2 = 3^2 \cdot x^{2 \cdot 2} = 9x^4$. El exponente de $x$ es 4.