Cómo resolver un problema con ecuación de segundo grado
Los pasos son los mismos que con las ecuaciones de primer grado, pero al final suele aparecer una ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ que resolvemos con la fórmula general:
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
Cuando el problema da dos soluciones, elegimos la que tenga sentido (por ejemplo, la positiva si hablamos de medidas o cantidades).
Problemas de números
Problema 1: "El cuadrado de un número menos 5 es igual a 20. ¿Cuál es el número positivo?"
- Incógnita: $x$ = el número
- Ecuación: $x^2 - 5 = 20$
- Resolución: $x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$
- El número positivo es 5. Comprobación: $25 - 5 = 20$ ✓
Problema 2: "El producto de dos números consecutivos es 42. ¿Cuáles son?"
- Incógnita: $x$ = el primer número
- Ecuación: $x(x + 1) = 42 \Rightarrow x^2 + x - 42 = 0$
- Fórmula general: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2} = \frac{-1 \pm 13}{2}$
- Soluciones: $x = 6$ y $x = -7$
- Los números son 6 y 7. Comprobación: $6 \cdot 7 = 42$ ✓
Problemas de áreas
Problema 3: "El área de un cuadrado es 64 cm². ¿Cuánto mide su lado?"
- Incógnita: $x$ = lado del cuadrado
- Ecuación: $x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm 8$
- Tomamos la solución positiva: el lado mide 8 cm. Comprobación: $8^2 = 64$ ✓
Problema 4: "La base de un rectángulo mide 3 cm más que su altura y su área es 28 cm². ¿Cuánto mide la altura?"
- Incógnita: $x$ = altura; base = $x + 3$
- Ecuación: $x(x + 3) = 28 \Rightarrow x^2 + 3x - 28 = 0$
- Fórmula general: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2}$
- Soluciones: $x = 4$ y $x = -7$ (descartamos $-7$)
- La altura mide 4 cm y la base 7 cm. Comprobación: $4 \cdot 7 = 28$ ✓
Problemas de productos y sumas
Problema 5: "Un número más el cuadrado de ese número es igual a 12. ¿Cuál es el número positivo?"
- Incógnita: $x$ = el número
- Ecuación: $x + x^2 = 12 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$
- Fórmula general: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}$
- Soluciones: $x = 3$ y $x = -4$
- El número positivo es 3. Comprobación: $3 + 9 = 12$ ✓
Errores comunes
| Error | Incorrecto | Correcto |
|---|---|---|
| Olvidar el signo $\pm$ | $x^2 = 25 \Rightarrow x = 5$ | $x = \pm 5$ |
| No pasar todo a un miembro | $x^2 + x = 12$ (no es $= 0$) | $x^2 + x - 12 = 0$ |
| Elegir una solución sin sentido | Lado $= -8$ cm | Solo vale el valor positivo |
Consejo: comprueba siempre las soluciones en el enunciado original del problema.