Proporcionalidad

Razón y proporción

Una razón es el cociente entre dos números: $\frac{a}{b}$. Una proporción es la igualdad de dos razones:

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

Se lee "a es a b como c es a d", y se cumple que $a \cdot d = b \cdot c$ (producto de medios igual a producto de extremos).

Ejemplo: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ porque $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 12$.

Proporcionalidad directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por ese mismo número. El cociente entre ellas es constante:

$$ \frac{y}{x} = k \quad \text{(constante de proporcionalidad)} $$

kg de manzanas	1	2	3
Precio (€)	2	4	6

Si 1 kg cuesta 2 €, 3 kg cuestan 3 $\cdot$ 2 = 6 €.

Regla de tres directa

Para resolver problemas de proporcionalidad directa:

"Si 5 cuadernos cuestan 10 €, ¿cuánto cuestan 8 cuadernos?"

Planteamos la proporción:

$$ \frac{5}{10} = \frac{8}{x} \Rightarrow 5x = 8 \cdot 10 \Rightarrow x = \frac{80}{5} = 16 $$

8 cuadernos cuestan 16 €.

Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por ese mismo número. El producto entre ellas es constante:

$$ x \cdot y = k $$

"4 obreros tardan 9 días en hacer una obra. ¿Cuánto tardarían 6 obreros?"

Más obreros tardan menos días: es inversa.

$$ 4 \cdot 9 = 6 \cdot x \Rightarrow x = \frac{36}{6} = 6 $$

6 obreros tardarían 6 días.

Repartos proporcionales

Para repartir una cantidad en partes proporcionales a unos números, se divide la cantidad total entre la suma de esos números y se multiplica por cada uno.

"Repartir 30 € entre dos hermanos en proporción 2 : 3"

Suma de las partes: $2 + 3 = 5$
Valor de cada parte: $30 : 5 = 6$
Hermano 1: $2 \cdot 6 = 12$ €
Hermano 2: $3 \cdot 6 = 18$ €
Comprobación: $12 + 18 = 30$ ✓

Porcentajes

Un porcentaje es una razón con denominador 100: $p\% = \frac{p}{100}$.

Porcentaje	Fracción	Significado
50%	$\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$	La mitad
25%	$\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$	La cuarta parte
10%	$\frac{10}{100} = \frac{1}{10}$	La décima parte

Para calcular el $p\%$ de una cantidad $C$: $\frac{p}{100} \cdot C$.

"¿Cuánto es el 20% de 250?"

$$ \frac{20}{100} \cdot 250 = 0{,}2 \cdot 250 = 50 $$

Errores comunes

Error	Incorrecto	Correcto
Tratar una inversa como directa	$4 \cdot 9 = \frac{6}{x}$	$4 \cdot 9 = 6 \cdot x$
Calcular el 20% de 250 como $250 - 20$	$230$	$50$
Confundir porcentaje y cantidad	El 25% es 25	El 25% de 200 es 50

Consejo: identifica primero si la proporcionalidad es directa o inversa antes de operar.