Divisores y múltiplos
Un número $a$ es divisor de $b$ si la división $b : a$ es exacta. Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicándolo por un número natural.
- Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
- Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, ...
Descomposición factorial
Para calcular el MCD y el MCM necesitamos descomponer los números en factores primos. Un número primo solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
Ejemplo: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Máximo común divisor (MCD)
El máximo común divisor de dos o más números, mcd$(a, b)$, es el mayor número que es divisor de todos ellos.
Método: 1. Descomponer cada número en factores primos. 2. Tomar los factores comunes con el menor exponente. 3. Multiplicarlos.
resuelto: mcd(12, 18)
1. Descomponemos: $12 = 2^2 \cdot 3$ y $18 = 2 \cdot 3^2$ 2. Factores comunes: $2$ y $3$. Con el menor exponente: $2$ y $3$. 3. mcd$(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6$
Comprobación: 6 divide a 12 ($12 : 6 = 2$) y a 18 ($18 : 6 = 3$), y ningún número mayor que 6 lo hace.
Mínimo común múltiplo (MCM)
El mínimo común múltiplo de dos o más números, mcm$(a, b)$, es el menor número (distinto de 0) que es múltiplo de todos ellos.
Método: 1. Descomponer cada número en factores primos. 2. Tomar los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. 3. Multiplicarlos.
resuelto: mcm(12, 18)
1. Descomponemos: $12 = 2^2 \cdot 3$ y $18 = 2 \cdot 3^2$ 2. Tomamos $2^2$ (mayor exponente de 2) y $3^2$ (mayor exponente de 3). 3. mcm$(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$
Comprobación: 36 es múltiplo de 12 ($36 = 12 \cdot 3$) y de 18 ($36 = 18 \cdot 2$), y es el menor posible.
Ejemplo con tres números
resuelto: mcd y mcm de 24, 36 y 40
Descomponemos:
- $24 = 2^3 \cdot 3$
- $36 = 2^2 \cdot 3^2$
- $40 = 2^3 \cdot 5$
MCD: solo el factor común $2$, con el menor exponente $2^2$: mcd = $2^2 = 4$.
MCM: factores comunes y no comunes con mayor exponente: $2^3$, $3^2$ y $5$: mcm = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$.
Comprobación: $360 : 24 = 15$, $360 : 36 = 10$ y $360 : 40 = 9$. ¡Exactas!
Relación entre MCD y MCM
Para dos números $a$ y $b$ se cumple:
Ejemplo: mcd$(6, 8) = 2$ y mcm$(6, 8) = 24$. Comprobamos: $2 \cdot 24 = 48 = 6 \cdot 8$ ✓
Errores comunes
| Error | Incorrecto | Correcto |
|---|---|---|
| Confundir MCD y MCM | mcd(12, 18) = 36 | mcd(12, 18) = 6 |
| Usar el mayor exponente en el MCD | mcd usa $2^2 \cdot 3^2$ | mcd usa $2 \cdot 3$ |
| Olvidar factores no comunes en el MCM | mcm(12, 18) = $2^2 \cdot 3$ | mcm(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2$ |
Truco: el MCD siempre es menor o igual que los números y el MCM mayor o igual que ellos.