¿Qué mide la dispersión?

Las medidas de centralización (media, mediana, moda) nos dicen alrededor de qué valor se agrupan los datos. Las medidas de dispersión nos dicen cuánto se separan los datos de ese valor central.

Dos conjuntos pueden tener la misma media y, sin embargo, uno tener los datos muy juntos y el otro muy separados.

Rango

El rango (o recorrido) es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo:

$$ R = x_{\max} - x_{\min} $$

Ejemplo: en los datos 3, 8, 12 y 5, el rango es $R = 12 - 3 = 9$.

Desviación media

La desviación media (DM) es la media de las distancias de cada dato a la media:

$$ DM = \frac{|x_1 - \bar{x}| + |x_2 - \bar{x}| + \cdots + |x_n - \bar{x}|}{N} $$

Varianza y desviación típica

La varianza ($\sigma^2$) es la media de los cuadrados de las desviaciones:

$$ \sigma^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2}{N} $$

La desviación típica ($\sigma$) es la raíz cuadrada de la varianza:

$$ \sigma = \sqrt{\sigma^2} $$

Cuanto menor es la desviación típica, más juntos están los datos respecto a la media.

Ejemplo resuelto paso a paso

notas 5, 7, 7 y 9

1. Media: $\bar{x} = (5 + 7 + 7 + 9) : 4 = 28 : 4 = 7$ 2. Desviaciones: $|5-7| = 2$, $|7-7| = 0$, $|7-7| = 0$, $|9-7| = 2$ 3. Desviación media: $DM = (2 + 0 + 0 + 2) : 4 = 1$ 4. Varianza: $\sigma^2 = (4 + 0 + 0 + 4) : 4 = 2$ 5. Desviación típica: $\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}41$

Las notas se separan de la media (7) unas 1,41 unidades por término medio.

comparar dos grupos con la misma media

Grupo A: 4, 6, 8. Grupo B: 2, 6, 10. Ambos tienen media 6.

  • Grupo A: desviaciones 2, 0, 2. $DM = 4/3 \approx 1{,}33$; $\sigma^2 = 8/3 \approx 2{,}67$; $\sigma \approx 1{,}63$.
  • Grupo B: desviaciones 4, 0, 4. $DM = 8/3 \approx 2{,}67$; $\sigma^2 = 32/3 \approx 10{,}67$; $\sigma \approx 3{,}27$.

El grupo B tiene más dispersión: sus datos están más separados de la media.

Errores comunes

ErrorIncorrectoCorrecto
Olvidar el valor absoluto en la DM$DM = (x_1 - \bar{x}) + \cdots$$DM =x_1 - \bar{x}+ \cdots$
Confundir rango y desviación típicarango = mediarango = máx - mín
No hacer la raíz cuadrada$\sigma = \sigma^2$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Sumar desviaciones sin elevar al cuadrado en la varianza$(x - \bar{x})$$(x - \bar{x})^2$

Recuerda: las desviaciones se elevan al cuadrado en la varianza para que no se anulen entre sí (positivas y negativas).

1. ¿Cuál es el rango de los datos 3, 8, 12 y 5? (1 puntos)

2. Calcula la media de los datos: 2, 4, 6, 8. (1 puntos)

3. ¿Qué indica la desviación típica de un conjunto de datos? (1 puntos)

4. Dados los datos 4, 6, 8 y 10, calcula: (1 puntos)

a ) La media

b ) La desviación media

c ) La varianza

5. Calcula el rango de las notas: 4, 9, 6, 10, 5. (1 puntos)

6. Dos conjuntos A y B tienen la misma media, pero A tiene desviación típica 1,5 y B tiene desviación típica 4,5. ¿Qué conjunto tiene los datos más dispersos? (1 puntos)