¿Qué son las medidas de centralización?

Las medidas de centralización son números que resumen un conjunto de datos indicando alrededor de qué valor se agrupan. Las tres principales son la media, la mediana y la moda.

Media aritmética

La media aritmética ($\bar{x}$) es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos:

$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} $$

Si los datos están en una tabla de frecuencias:

$$ \bar{x} = \frac{x_1 \cdot n_1 + x_2 \cdot n_2 + \cdots + x_k \cdot n_k}{N} $$

Mediana

La mediana es el valor que queda en el centro cuando los datos están ordenados de menor a mayor.

  • Si $N$ es impar, la mediana es el dato que ocupa la posición $(N+1)/2$.
  • Si $N$ es par, la mediana es la media de los dos datos centrales.

Moda

La moda es el valor que más se repite. Puede haber varias modas o ninguna. Se representa por Mo.

Ejemplo resuelto paso a paso

notas de 10 alumnos: 5, 7, 6, 8, 7, 5, 9, 7, 6, 8

Media: $(5 + 7 + 6 + 8 + 7 + 5 + 9 + 7 + 6 + 8) : 10 = 68 : 10 = 6{,}8$

Mediana: ordenamos los datos: 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9. Como $N = 10$ es par, la mediana es la media de las posiciones 5 y 6: $(7 + 7) : 2 = 7$.

Moda: el 7 aparece 3 veces, más que ningún otro: Mo = 7.

con tabla de frecuencias
$x_i$$n_i$
23
52
Total5

Media: $\bar{x} = (2 \cdot 3 + 5 \cdot 2) : 5 = (6 + 10) : 5 = 16 : 5 = 3{,}2$

Moda: Mo = 2 (es el valor con mayor frecuencia, $n = 3$).

¿Cuál usar?

MedidaCuándo usarla
MediaCuando no hay valores extremos raros; es la más usada
MedianaCuando hay valores atípicos (un dato mucho mayor o menor)
ModaCon datos cualitativos (colores, sabores...) o para conocer lo más frecuente

Ejemplo: en las notas 2, 3, 4, 5 y 26, la media es 8 pero la mediana es 4, que describe mejor la realidad del grupo.

Errores comunes

ErrorIncorrectoCorrecto
No ordenar antes de hallar la medianamediana de 3, 9, 1 = 9ordenar: 1, 3, 9 → mediana 3
Confundir moda con mediamoda de 2, 3, 3 = 2,67moda = 3
Olvidar dividir por el totalmedia de 4 y 8 = 12media = (4 + 8) : 2 = 6
Con $N$ par, tomar un solo centralmediana de 1, 2, 3, 4 = 2mediana = (2 + 3) : 2 = 2,5

1. Calcula la media de las notas: 4, 5, 6, 7, 8. (1 puntos)

2. ¿Cuál es la moda de los datos: 2, 3, 3, 5, 8? (1 puntos)

3. ¿Cuál es la mediana de los datos: 1, 2, 3, 4, 5, 6? (1 puntos)

4. Las alturas (en cm) de 5 alumnos son: 150, 155, 160, 165, 170. (1 puntos)

a ) La media

b ) La mediana

5. En una tabla de frecuencias: el valor 2 aparece 3 veces y el valor 5 aparece 2 veces. ¿Cuál es la media? (1 puntos)

6. En un grupo de 10 amigos, uno gana 10.000 € al mes y los otros nueve ganan unos 1.500 €. ¿Qué medida describe mejor el sueldo típico del grupo? (1 puntos)