Experimento aleatorio y espacio muestral

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir con seguridad, aunque se repita en las mismas condiciones. Por ejemplo, lanzar un dado o extraer una carta.

  • Espacio muestral ($E$): conjunto de todos los resultados posibles. Al lanzar un dado, $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
  • Suceso: cualquier subconjunto del espacio muestral.

Tipos de sucesos:

  • Elemental: tiene un solo resultado (sacar un 4).
  • Compuesto: tiene varios resultados (sacar un número par).
  • Seguro: siempre ocurre (sacar un número menor que 7).
  • Imposible: nunca ocurre (sacar un 7).

Regla de Laplace

Si todos los resultados son equiprobables (tienen la misma probabilidad), la probabilidad de un suceso $A$ es:

$$ P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} $$

Propiedades de la probabilidad

  • La probabilidad siempre está entre 0 y 1: $0 \leq P(A) \leq 1$.
  • $P(\text{suceso seguro}) = 1$ y $P(\text{suceso imposible}) = 0$.
  • La probabilidad del suceso contrario es $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

Ejemplos resueltos paso a paso

lanzar un dado

Al lanzar un dado de 6 caras:

  • $P(\text{sacar un 4}) = 1/6$
  • $P(\text{sacar un número par}) = 3/6 = 1/2$ (los favorables son 2, 4 y 6)
  • $P(\text{sacar mayor que 4}) = 2/6 = 1/3$ (los favorables son 5 y 6)
  • $P(\text{sacar un 7}) = 0$ (suceso imposible)
bolsa con bolas de colores

Una bolsa contiene 3 bolas rojas y 5 azules, todas iguales salvo el color. Total de bolas: 8.

  • $P(\text{roja}) = 3/8$
  • $P(\text{azul}) = 5/8$
  • $P(\text{roja}) + P(\text{azul}) = 3/8 + 5/8 = 1$ ✓ (son sucesos contrarios)
baraja española

Una baraja española tiene 40 cartas repartidas en 4 palos (oros, copas, espadas y bastos) de 10 cartas cada uno.

  • $P(\text{as}) = 4/40 = 1/10 = 0{,}1$
  • $P(\text{oros}) = 10/40 = 1/4 = 0{,}25$
  • $P(\text{figura})$: hay 3 figuras por palo (sota, caballo y rey), 12 en total: $12/40 = 3/10 = 0{,}3$

Frecuencia relativa y probabilidad

Si repetimos muchas veces un experimento, la frecuencia relativa de un suceso se acerca a su probabilidad. Por eso, con 1000 lanzamientos de una moneda, la cara sale aproximadamente la mitad de las veces.

Errores comunes

ErrorIncorrectoCorrecto
Contar mal los casos posiblesP(sacar par en un dado) = 2/6casos posibles = 6; favorables = 3
Poner probabilidades mayores que 1P = 2$0 \leq P \leq 1$
Sumar en vez de restar el contrario$P(\bar{A}) = 1 + P(A)$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
Ignorar que los sucesos deben ser equiprobablesLaplace con moneda trucadaLaplace solo con resultados equiprobables

1. Al lanzar un dado de 6 caras, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número par? (1 puntos)

2. Una bolsa contiene 4 bolas rojas y 6 azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja? (1 puntos)

3. ¿Cuál es la probabilidad de un suceso seguro? (1 puntos)

4. Se extrae una carta al azar de una baraja española de 40 cartas. (1 puntos)

a ) Probabilidad de que sea un as

b ) Probabilidad de que sea de oros

5. Al lanzar una moneda dos veces, ¿cuántos resultados posibles hay? (1 puntos)

6. Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número mayor que 4? (1 puntos)

7. Si la probabilidad de que llueva mañana es 0,3, ¿cuál es la probabilidad de que no llueva? (1 puntos)