Problemas sistemas de ecuaciones lineales

Resolver problemas con sistemas de ecuaciones

Muchos problemas de la vida diaria se pueden resolver con un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Para plantearlos correctamente, sigue estos cuatro pasos:

1. Leer el enunciado con atención y subrayar los datos. 2. Elegir las incógnitas: asignar una letra ($x$, $y$) a cada cantidad desconocida. 3. Plantear las dos ecuaciones que relacionan los datos. 4. Resolver el sistema y comprobar que la solución tiene sentido.

Ejemplo 1: Problema de edades

resuelto: Las edades de Ana y Luis

Ana y Luis tienen entre los dos 45 años. Ana tiene 5 años más que Luis. ¿Qué edad tiene cada uno?

Incógnitas: $x$ = edad de Ana, $y$ = edad de Luis.

Planteamiento: la suma es 45 y la diferencia es 5:

$$ x + y = 45 $$

$$ x = y + 5 $$

Resolución por sustitución: sustituimos $x = y + 5$ en la primera ecuación:

$$ (y + 5) + y = 45 \Rightarrow 2y + 5 = 45 \Rightarrow 2y = 40 \Rightarrow y = 20 $$

Como $x = y + 5 = 25$, la solución es $x = 25$ e $y = 20$.

Comprobación: $25 + 20 = 45$ y $25 = 20 + 5$. ¡Correcto! Ana tiene 25 años y Luis 20.

Ejemplo 2: Problema de números

resuelto: Dos números con suma y diferencia

La suma de dos números es 30 y su diferencia es 8. ¿Cuáles son?

Incógnitas: $x$ = número mayor, $y$ = número menor.

$$ x + y = 30 $$

$$ x - y = 8 $$

Resolución por reducción: sumamos las dos ecuaciones para eliminar la $y$:

$$ 2x = 38 \Rightarrow x = 19 $$

Sustituimos en la primera: $19 + y = 30 \Rightarrow y = 11$.

Comprobación: $19 + 11 = 30$ y $19 - 11 = 8$. Los números son 19 y 11.

Ejemplo 3: Problema de entradas

resuelto: Entradas de un concierto

En un concierto se vendieron 300 entradas. Las entradas de adulto costaban 12 € y las de niño 6 €. Se recaudaron 3000 €. ¿Cuántas entradas de cada clase se vendieron?

Incógnitas: $a$ = entradas de adulto, $n$ = entradas de niño.

Planteamiento:

$$ a + n = 300 $$

$$ 12a + 6n = 3000 $$

Resolución por sustitución: de la primera, $a = 300 - n$. Sustituimos en la segunda:

$$ 12(300 - n) + 6n = 3000 \Rightarrow 3600 - 12n + 6n = 3000 $$

$$ -6n = -600 \Rightarrow n = 100 $$

Entonces $a = 300 - 100 = 200$.

Comprobación: $200 \cdot 12 + 100 \cdot 6 = 2400 + 600 = 3000$ €. Se vendieron 200 entradas de adulto y 100 de niño.

Errores comunes

Confundir las incógnitas: anota siempre qué representa cada letra.
Mezclar unidades: si un dato está en euros y otro en céntimos, pasa todo a la misma unidad.
No comprobar la solución: sustituye los valores en las dos ecuaciones antes de dar el resultado por bueno.
Olvidar el contexto: la solución debe tener sentido (edades positivas, número de entradas entero...).

Ideas clave

Plantea el sistema leyendo con calma: cada frase del enunciado suele dar una ecuación.
Usa el método de resolución que te resulte más cómodo: sustitución, igualación o reducción.
Una vez resuelto, comprueba siempre el resultado en el enunciado original.