Ecuación lineal con dos incógnitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene la forma $ax + by = c$, donde $x$ e $y$ son las incógnitas y $a$, $b$ y $c$ son números.

Por ejemplo, en $2x + y = 5$, los pares $(1, 3)$ o $(2, 1)$ son soluciones, porque $2 \cdot 1 + 3 = 5$ y $2 \cdot 2 + 1 = 5$. Una ecuación lineal tiene infinitas soluciones.

Sistema de ecuaciones

Un sistema son dos ecuaciones lineales con las mismas dos incógnitas. Su solución es el par $(x, y)$ que cumple las dos ecuaciones a la vez.

$$ egin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 2 end{cases} $$

Comprobamos que $(3, 4)$ es solución: $3 + 4 = 7$ ✓ y $2 \cdot 3 - 4 = 2$ ✓.

Método de sustitución

Consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra.

resuelto por sustitución
$$ egin{cases} x = 2y \\ x + y = 9 end{cases} $$

1. La primera ecuación ya tiene despejada la $x$. 2. Sustituimos en la segunda: $2y + y = 9 \Rightarrow 3y = 9 \Rightarrow y = 3$. 3. Calculamos $x = 2 \cdot 3 = 6$.

Solución: $x = 6$, $y = 3$. Comprobamos: $6 + 3 = 9$ ✓.

Método de reducción

Consiste en sumar o restar las ecuaciones (a veces multiplicando antes una por un número) para eliminar una incógnita.

resuelto por reducción
$$ egin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 1 end{cases} $$

1. Sumamos las dos ecuaciones: $2x = 8 \Rightarrow x = 4$. 2. Sustituimos en la primera: $4 + y = 7 \Rightarrow y = 3$.

Solución: $x = 4$, $y = 3$. Comprobamos: $4 + 3 = 7$ ✓ y $4 - 3 = 1$ ✓.

Método de igualación

Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones.

resuelto por igualación
$$ egin{cases} x = 5 - y \\ x = 2y - 1 end{cases} $$

1. La $x$ ya está despejada en ambas ecuaciones: $5 - y = 2y - 1$. 2. Resolvemos: $5 + 1 = 2y + y \Rightarrow 6 = 3y \Rightarrow y = 2$. 3. Calculamos $x = 5 - 2 = 3$.

Solución: $x = 3$, $y = 2$. Comprobamos: $3 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ ✓.

Tipos de sistemas

  • Compatible determinado: tiene una única solución (las rectas se cortan en un punto).
  • Compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones (las dos ecuaciones representan la misma recta).
  • Incompatible: no tiene solución (las rectas son paralelas y no se cortan).

Ideas clave

  • La solución de un sistema debe cumplir las dos ecuaciones.
  • Elige el método que prefieras: los tres llegan al mismo resultado.
  • Siempre comprueba la solución sustituyéndola en las ecuaciones originales.

1. ¿Qué es la solución de un sistema de ecuaciones? (1 puntos)

2. Resuelve por sustitución: $x = 2y$ y $x + y = 9$. ¿Cuánto vale $x$? (1 puntos)

3. Resuelve por reducción el sistema $x + y = 7$ y $x - y = 1$: (1 puntos)

a ) El valor de $x$ es:

b ) El valor de $y$ es:

4. Un sistema sin solución se llama incompatible. ¿Qué ocurre con sus rectas en la gráfica? (1 puntos)

5. Resuelve por igualación: $x = 5 - y$ y $x = 2y - 1$. ¿Cuánto vale $y$? (1 puntos)

6. ¿Es $(3, 2)$ solución del sistema $x + y = 5$ y $2x - y = 4$? (1 puntos)