Pitágoras

El triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90°). Sus lados se llaman:

Hipotenusa ($c$): el lado más largo, el que está enfrente del ángulo recto.
Catetos ($a$ y $b$): los dos lados que forman el ángulo recto.

El teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

$$ c^2 = a^2 + b^2 $$

De esta fórmula podemos despejar cualquier lado:

Hipotenusa: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
Un cateto: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Calcular la hipotenusa

resuelto: Catetos de 3 cm y 4 cm

$$ c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $$

$$ c = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} $$

La hipotenusa mide 5 cm. El triángulo 3-4-5 es la terna pitagórica más famosa.

Calcular un cateto

resuelto: Hipotenusa 13 cm y un cateto 5 cm

$$ a^2 = c^2 - b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 $$

$$ a = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} $$

El otro cateto mide 12 cm. Otra terna pitagórica: 5-12-13.

Ternas pitagóricas

Son tríos de números que cumplen el teorema: $3, 4, 5$; $5, 12, 13$; $6, 8, 10$; $8, 15, 17$... Si los multiplicamos todos por el mismo número, obtenemos otra terna.

Aplicaciones del teorema

Diagonal de un rectángulo de 6 cm y 8 cm

La diagonal divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos donde la diagonal es la hipotenusa:

$$ d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} $$

¿Es rectángulo el triángulo de lados 6, 8 y 10?

Comprobamos si cumple el teorema: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ y $10^2 = 100$. Como coinciden, el triángulo sí es rectángulo y la hipotenusa es el lado de 10.

El teorema también sirve para calcular alturas de triángulos isósceles, distancias reales y para comprobar que una esquina forma un ángulo recto (por ejemplo, al colocar baldosas).

Errores comunes

Confundir la hipotenusa con un cateto: la hipotenusa siempre es el lado mayor.
Olvidar la raíz cuadrada: al despejar un lado hay que hacer la raíz.
Restar mal en el cateto: recuerda que $a^2 = c^2 - b^2$ (hipotenusa al cuadrado menos el cateto conocido al cuadrado).

1. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es: (1 puntos)

El lado más largo, enfrente del ángulo recto Cualquiera de los dos lados del ángulo recto El lado más corto del triángulo El lado que forma el ángulo recto

Retroalimentación: La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y siempre es el lado más largo del triángulo rectángulo.

2. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? (1 puntos)

Retroalimentación: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ cm.

3. Aplica el teorema de Pitágoras en estos dos casos: (1 puntos)

a ) La diagonal de un rectángulo de 6 cm y 8 cm mide ... cm

b ) En un triángulo rectángulo con hipotenusa 13 cm y un cateto de 5 cm, el otro cateto mide ... cm

Retroalimentación: Para la diagonal se suma: $\sqrt{6^2 + 8^2}$; para el cateto se resta: $\sqrt{13^2 - 5^2}$.

4. Un triángulo tiene lados de 6 cm, 8 cm y 10 cm. ¿Es un triángulo rectángulo? (1 puntos)

Sí, porque $6^2 + 8^2 = 10^2$ No, porque ningún lado mide 90 cm Sí, porque todos los lados son pares No, porque $6 + 8 \neq 10$

Retroalimentación: Comprobamos: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. Como se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo.

5. Una escalera de 5 m está apoyada en una pared y su base está a 3 m de la pared. ¿A qué altura llega la escalera? (1 puntos)

Retroalimentación: La escalera es la hipotenusa (5 m) y la distancia al suelo es un cateto (3 m): $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ m.

6. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 cm y 12 cm? (1 puntos)

Retroalimentación: $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm. Es la terna pitagórica 5-12-13.