Raíces cuadradas y operaciones
Recordamos que $\sqrt{a}$ es el número que elevado al cuadrado da $a$. Por ejemplo, $\sqrt{25} = 5$ porque $5^2 = 25$.
Suma y resta de raíces
Solo se pueden sumar o restar raíces semejantes, es decir, raíces con el mismo radicando:
$$
3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3 + 5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
$$
$$
7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (7 - 2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}
$$
No se puede sumar directamente $\sqrt{2} + \sqrt{3}$: no hay regla para ello, el resultado queda indicado.
Producto de raíces
Para multiplicar raíces del mismo índice se multiplican los radicandos:
$$
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}
$$
$$
\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4
$$
Si hay coeficientes, se multiplican entre sí:
$$
3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = (3 \cdot 2)\sqrt{5 \cdot 5} = 6\sqrt{25} = 6 \cdot 5 = 30
$$
Cociente de raíces
Para dividir raíces del mismo índice se dividen los radicandos:
$$
\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}
$$
$$
\sqrt{36} : \sqrt{9} = \sqrt{36 : 9} = \sqrt{4} = 2
$$
Ejemplo resuelto paso a paso
calcula $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{49}$
1. Producto: $\sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$ 2. Raíz: $\sqrt{49} = 7$ 3. Suma: $6 + 7 = 13$
Resultado: $13$.
Errores comunes
- Sumar raíces no semejantes: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$.
- Confundir producto y suma: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ sí, pero $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
- Olvidar multiplicar los coeficientes al operar con raíces con coeficiente.