¿Qué es una potencia?
Una potencia es una multiplicación repetida: $a^n = a \cdot a \cdot a \cdots$ ($n$ veces). El número $a$ es la base y $n$ el exponente.
Propiedades de las potencias
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto (misma base) | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ |
| Cociente (misma base) | $a^m : a^n = a^{m-n}$ | $5^7 : 5^4 = 5^3$ |
| Potencia de potencia | $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ | $(3^2)^3 = 3^6$ |
| Producto (mismo exponente) | $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ | $(2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$ |
| Cociente (mismo exponente) | $(a : b)^n = a^n : b^n$ | $(10 : 2)^3 = 10^3 : 2^3$ |
| Exponente cero | $a^0 = 1$ | $7^0 = 1$ |
| Exponente uno | $a^1 = a$ | $9^1 = 9$ |
| Exponente negativo | $a^{-n} = 1/a^n$ | $2^{-3} = 1/8$ |
Ejemplos resueltos
$3^2 \cdot 3^5$
Se suman los exponentes: $3^{2+5} = 3^7 = 2187$.
Comprobación: $3^2 = 9$, $3^5 = 243$, $9 \cdot 243 = 2187$. ✔
$2^7 : 2^4$
Se restan los exponentes: $2^{7-4} = 2^3 = 8$.
Comprobación: $2^7 = 128$, $2^4 = 16$, $128 : 16 = 8$. ✔
$(4^2)^3$
Se multiplican los exponentes: $4^{2 \cdot 3} = 4^6 = 4096$.
Comprobación: $4^2 = 16$ y $16^3 = 4096$. ✔
Errores comunes
- Confundir $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ con $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: en la primera se multiplican los exponentes.
- Creer que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$: es falso, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
- Olvidar que $a^0 = 1$ para cualquier base distinta de cero.
- Interpretar $2^{-1}$ como $-2$: en realidad $2^{-1} = 1/2$.