¿Qué es una raíz cuadrada?
La raíz cuadrada de un número $a$ es el número $b$ que elevado al cuadrado da $a$:
Por ejemplo, $\sqrt{49} = 7$ porque $7^2 = 49$.
En 2º ESO tomamos siempre la raíz positiva: $\sqrt{49} = 7$, aunque $(-7)^2$ también sea 49.
Cuadrados perfectos
Un número es un cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un número entero. Conviene memorizar los primeros:
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
Así, $\sqrt{64} = 8$ o $\sqrt{121} = 11$ son raíces exactas.
Raíces inexactas
Si el número no es un cuadrado perfecto, la raíz no es un número entero, pero podemos decir entre qué dos enteros se encuentra.
¿entre qué enteros está $\sqrt{20}$?
1. Buscamos cuadrados cercanos: $4^2 = 16$ y $5^2 = 25$. 2. Como $16 < 20 < 25$, entonces $4 < \sqrt{20} < 5$.
Decimos que la raíz entera de 20 es 4 (con resto $20 - 16 = 4$).
Raíz cuadrada de un producto
Por ejemplo, $\sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12$.
Ejemplo resuelto paso a paso
calcula $\sqrt{36} + \sqrt{49}$
1. $\sqrt{36} = 6$ porque $6^2 = 36$. 2. $\sqrt{49} = 7$ porque $7^2 = 49$. 3. Suma: $6 + 7 = 13$.
Resultado: $13$.
Errores comunes
- Creer que $\sqrt{25} = \pm 5$: en este curso la raíz cuadrada es el valor positivo, $\sqrt{25} = 5$.
- Pensar que $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$: es falso, $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, no $3 + 4 = 7$.
- Confundir $\sqrt{0}$ (vale 0) con algo que "no existe": $\sqrt{0} = 0$ porque $0^2 = 0$.