Ecuaciones de primer grado
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que solo se cumple para ciertos valores de la incógnita. En este tema trabajamos con ecuaciones de primer grado, en las que la incógnita aparece elevada a 1.
Elementos de una ecuación
- Miembros: la expresión a la izquierda del signo $=$ (primer miembro) y la de la derecha (segundo miembro).
- Términos: cada sumando de cada miembro.
- Incógnita: la letra cuyo valor queremos averiguar (normalmente $x$).
- Solución: el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para obtener ecuaciones equivalentes podemos:
1. Sumar o restar la misma cantidad a los dos miembros (regla de la suma). 2. Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número distinto de cero (regla del producto).
Pasos para resolver
1. Quitar paréntesis aplicando la propiedad distributiva. 2. Quitar denominadores multiplicando todos los términos por el mínimo común múltiplo. 3. Agrupar los términos con $x$ en un miembro y los números en el otro. 4. Reducir términos semejantes. 5. Despejar la incógnita dividiendo por su coeficiente. 6. Comprobar la solución sustituyéndola en la ecuación original.
Resolver $3x + 5 = 17$
Restamos 5 a los dos miembros: $3x = 17 - 5$, es decir, $3x = 12$.
Dividimos entre 3: $x = \frac{12}{3} = 4$.
Comprobación: $3 \cdot 4 + 5 = 12 + 5 = 17$. ✓
Resolver $5x - 3 = 2x + 9$
Pasamos $2x$ al primer miembro y $-3$ al segundo: $5x - 2x = 9 + 3$.
Reducimos: $3x = 12$, de donde $x = 4$.
Comprobación: $5 \cdot 4 - 3 = 17$ y $2 \cdot 4 + 9 = 17$. ✓
Resolver $2(x + 3) = 3x - 1$
Quitamos el paréntesis: $2x + 6 = 3x - 1$.
Agrupamos: $6 + 1 = 3x - 2x$, luego $7 = x$.
Comprobación: $2 \cdot 10 = 20$ y $3 \cdot 7 - 1 = 20$. ✓
Resolver $\frac{x}{2} + 1 = 3$
Multiplicamos los dos miembros por 2: $x + 2 = 6$, de donde $x = 4$.
Comprobación: $\frac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3$. ✓
Casos especiales
- Si al resolver llegamos a una igualdad falsa como $0 = 5$, la ecuación no tiene solución.
- Si llegamos a una igualdad verdadera como $0 = 0$, la ecuación tiene infinitas soluciones (es una identidad).
Errores comunes
- Cambiar de signo solo un término al pasarlo al otro miembro.
- Olvidar multiplicar todos los términos por el número al quitar denominadores.
- Dividir solo un miembro por el coeficiente de $x$.