Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado (o cuadrática) con una incógnita tiene la forma:
con $a \neq 0$. Los números $a$, $b$ y $c$ son los coeficientes.
Ecuaciones incompletas
- Si $b = 0$: la ecuación es $ax^2 + c = 0$. Se despeja $x^2$ y se toma la raíz cuadrada.
- Si $c = 0$: la ecuación es $ax^2 + bx = 0$. Se saca factor común $x$.
Ecuación completa: fórmula general
El valor $D = b^2 - 4ac$ se llama discriminante y nos indica el número de soluciones:
| Discriminante | Número de soluciones |
|---|---|
| $D > 0$ | Dos soluciones reales distintas |
| $D = 0$ | Una solución doble |
| $D < 0$ | Ninguna solución real |
Resolver $x^2 - 5x + 6 = 0$
Aquí $a = 1$, $b = -5$ y $c = 6$.
$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$
$x_1 = \frac{6}{2} = 3$ y $x_2 = \frac{4}{2} = 2$.
Comprobación: $3^2 - 15 + 6 = 0$ y $2^2 - 10 + 6 = 0$. ✓
Resolver $x^2 - 9 = 0$
Es incompleta con $b = 0$: $x^2 = 9$, luego $x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$.
Comprobación: $9 - 9 = 0$ tanto para $x = 3$ como para $x = -3$. ✓
Resolver $x^2 - 4x = 0$
Es incompleta con $c = 0$: $x(x - 4) = 0$.
Si un producto es cero, uno de los factores debe ser cero: $x = 0$ o $x - 4 = 0$.
Las soluciones son $x_1 = 0$ y $x_2 = 4$.
Resolver $x^2 + 4x + 4 = 0$
Aquí $a = 1$, $b = 4$ y $c = 4$. El discriminante es $D = 16 - 16 = 0$, así que hay una solución doble:
$x = \frac{-4 \pm 0}{2} = -2$
Comprobación: $4 - 8 + 4 = 0$. ✓
Errores comunes
- Confundir los signos de los coeficientes: en $x^2 - 5x + 6 = 0$, es $b = -5$ y $c = 6$.
- Olvidar la solución negativa al resolver $x^2 = k$.
- Afirmar que $x^2 + 4 = 0$ tiene soluciones reales: no las tiene, porque $x^2 = -4$ es imposible con números reales.