Operaciones con logaritmos
¿Qué es un logaritmo?
El logaritmo en base $a$ de un número $x$ es el exponente al que hay que elevar la base $a$ para obtener $x$:
$$
\log_a x = y \quad \Longleftrightarrow \quad a^y = x
$$
Por ejemplo, $\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$.
Logaritmos especiales
- Logaritmo decimal (base 10): se escribe $\log x$ (sin indicar la base).
- Logaritmo neperiano (base $e$): se escribe $\ln x$.
Propiedades básicas para operar
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Logaritmo del producto | $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$ | $\log 2 + \log 5 = \log 10 = 1$ |
| Logaritmo del cociente | $\log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y$ | $\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 9 = 2$ |
| Logaritmo de una potencia | $\log_a x^n = n \cdot \log_a x$ | $\log_5 25^2 = 2 \cdot \log_5 25 = 4$ |
| Logaritmo de la base | $\log_a a = 1$ | $\log_7 7 = 1$ |
| Logaritmo de 1 | $\log_a 1 = 0$ | $\log_3 1 = 0$ |
Calcular $\log_3 81$
Buscamos el exponente $y$ tal que $3^y = 81$. Como $81 = 3^4$, entonces $\log_3 81 = 4$.
Calcular $\log_5 \frac{1}{25}$
$\log_5 \frac{1}{25} = \log_5 1 - \log_5 25 = 0 - 2 = -2$.
También se puede razonar así: $\frac{1}{25} = 5^{-2}$, luego $\log_5 5^{-2} = -2$.
Simplificar $2 \cdot \log_4 2$
$2 \cdot \log_4 2 = \log_4 2^2 = \log_4 4 = 1$.
Errores comunes
- Confundir $\log_a (x + y)$ con $\log_a x + \log_a y$: no existe una propiedad para la suma.
- Pensar que $\log_a (x \cdot y) = \log_a x \cdot \log_a y$: el logaritmo del producto es la suma de logaritmos.
- Confundir base y argumento: $\log_2 4 = 2$, pero $\log_4 2 = \frac{1}{2}$.