Problemas con logaritmos

Muchos fenómenos crecen de forma exponencial: las bacterias se duplican, la población aumenta, el sonido se mide en decibelios... Para averiguar cuántas veces hay que multiplicar por un factor (o durante cuántos periodos), usamos logaritmos.

Pasos para resolver

1. Identifica la base $a$ (el factor que se repite: 2 si se duplica, 3 si se triplica, 10 en los logaritmos decimales). 2. Escribe la ecuación en forma exponencial: $a^n = x$. 3. Convierte a logaritmo: $n = \log_a x$. 4. Calcula el valor del logaritmo y responde con la unidad adecuada.

Bacterias que se duplican

Una bacteria se duplica cada hora. Si empezamos con 1 bacteria, al cabo de $n$ horas hay $2^n$ bacterias.

¿Cuántas horas deben pasar para tener 1024 bacterias?

$2^n = 1024 = 2^{10}$, luego $n = \log_2 1024 = 10$ horas.

Magnitud de un terremoto

La magnitud de un terremoto es $M = \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del seísmo e $I_0$ una intensidad de referencia.

Si un terremoto tiene una intensidad $I = 1000 \cdot I_0$, su magnitud es $M = \log 1000 = 3$.

Nivel de sonido

El nivel de sonido en decibelios es $dB = 10 \cdot \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$.

Si $I = 100 \cdot I_0$, entonces $dB = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20$ decibelios.

pH de una disolución

El pH se calcula como $pH = -\log [H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones de hidrógeno.

Si $[H^+] = 10^{-5}$, entonces $pH = -\log 10^{-5} = 5$.

Errores comunes

  • Confundir la base: si la cantidad "se triplica", la base es 3; si "se duplica", la base es 2.
  • Olvidar que $10^n$ tiene $n$ ceros: $10^6 = 1000000$, luego $\log 10^6 = 6$.
  • No comprobar que la potencia obtenida coincide con el dato del problema.

1. Una población de bacterias se duplica cada hora. Si cumple $2^n = 64$, ¿cuántas horas han pasado? (1 puntos)

2. La magnitud de un terremoto es $M = \log (I/I_0)$. Si $I = 1000 \cdot I_0$, la magnitud es: (1 puntos)

3. El pH se calcula como $pH = -\log [H^+]$. Si $[H^+] = 10^{-4}$, ¿cuánto vale el pH? (1 puntos)

4. Una colonia de bacterias se duplica cada día. Si $2^n = 256$, ¿cuántos días han pasado? (1 puntos)

5. El nivel de sonido es $dB = 10 \cdot \log (I/I_0)$. Si $I = 10^6 \cdot I_0$, ¿cuántos decibelios son? (1 puntos)

6. Si una población se triplica cada año y cumple $3^n = 81$, ¿cuántos años han pasado? (1 puntos)

7. Calcula el exponente $n$ en cada caso: (1 puntos)

a ) Apartado a) $2^n = 32$

b ) Apartado b) $5^n = 125$

8. Una población se duplica cada 4 años. Si cumple $2^{t/4} = 8$, ¿cuántos años han pasado? (1 puntos)