Razones y proporciones
Una razón entre dos cantidades $a$ y $b$ es el cociente $a/b$. Una proporción es la igualdad de dos razones:
Se cumple la propiedad fundamental: el producto de extremos es igual al producto de medios, $a \cdot d = b \cdot c$. Por ejemplo, en $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ se cumple $2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 = 24$.
Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. Su cociente es constante:
La constante $k$ se llama constante de proporcionalidad. Si el precio de 3 kg de naranjas es 12 €, el de 6 kg es 24 €: al doble de kilos, doble de precio.
3 kg de naranjas cuestan 12 €. ¿Cuánto cuestan 5 kg?
Cada kilogramo cuesta $12/3 = 4$ €, así que la constante es $k = 4$.
Respuesta: 5 kg cuestan 20 €. También se resuelve con una regla de tres: si 3 kg son 12 €, 5 kg son $x$; como es directa, $x = 12 \cdot 5/3 = 20$ €.
Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por ese número. Su producto es constante:
4 obreros tardan 6 días en hacer una obra. ¿Cuánto tardarán 2 obreros?
El trabajo total es constante: $4 \cdot 6 = 24$ obreros-día. Con 2 obreros:
Respuesta: 2 obreros tardan 12 días: a la mitad de obreros, el doble de tiempo.
Regla de tres simple
Es un método para resolver problemas de proporcionalidad con dos magnitudes y tres datos conocidos.
| Tipo | Relación | Cálculo |
|---|---|---|
| Directa | $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$ | $x = \frac{b \cdot c}{a}$ |
| Inversa | $a \cdot b = c \cdot x$ | $x = \frac{a \cdot b}{c}$ |
Repartos proporcionales
Repartir una cantidad $N$ en partes proporcionales a unos números $a, b, c$ consiste en dividir $N$ entre la suma $a+b+c$ y multiplicar el resultado por cada número.
reparte 240 € entre dos hermanos en proporción 2 : 3
Total de partes: $2 + 3 = 5$. Cada parte vale $240/5 = 48$ €.
- Hermano 1: $2 \cdot 48 = 96$ €
- Hermano 2: $3 \cdot 48 = 144$ €
Comprobación: $96 + 144 = 240$ €.
Porcentajes y escalas
Un porcentaje es una proporcionalidad directa respecto a 100: el $p\%$ de una cantidad $N$ es $p \cdot N/100$. Así, el 15% de 80 es $15 \cdot 80/100 = 12$.
Una escala 1 : 50000 indica que 1 cm en el mapa representa 50000 cm (0,5 km) en la realidad. Si dos pueblos están a 4 cm en el mapa, en la realidad están a $4 \cdot 50000 = 200000$ cm = 2 km.
Errores comunes
- Confundir proporcionalidad directa (cociente constante) con inversa (producto constante).
- En la regla de tres inversa, multiplicar en cruz en lugar de multiplicar las dos primeras cantidades.
- Olvidar comprobar el resultado con la propiedad fundamental o con la suma total en los repartos.