¿Qué es la regla de Ruffini?

La regla de Ruffini es un método rápido para dividir un polinomio entre un binomio de la forma $x - a$. Solo se usa cuando el divisor es de primer grado y su coeficiente principal es 1.

Pasos del método

1. Escribir los coeficientes del dividendo en orden decreciente de grado. Si falta algún grado, se coloca un 0. 2. Colocar a la izquierda el número $a$ del divisor $x - a$. 3. Bajar el primer coeficiente. 4. Multiplicar ese número por $a$, sumar con el siguiente coeficiente y repetir. 5. El último número obtenido es el resto; los demás son los coeficientes del cociente, un grado menor que el dividendo.

divide $2x^3 + 3x^2 - 5x + 4$ entre $x - 2$

Coeficientes: 2, 3, -5, 4 y $a = 2$.

Coeficientes23-54
Bajar2
Producto $2 \cdot 2$4
Suma7
Producto $7 \cdot 2$14
Suma9
Producto $9 \cdot 2$18
Suma22

El cociente es $2x^2 + 7x + 9$ y el resto es 22.

Comprobación: $(x-2)(2x^2+7x+9) = 2x^3 + 7x^2 + 9x - 4x^2 - 14x - 18 = 2x^3 + 3x^2 - 5x - 18$. Sumando el resto: $2x^3 + 3x^2 - 5x - 18 + 22 = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 4$. Correcto.

Teorema del resto

El resto de dividir $P(x)$ entre $x - a$ es igual al valor numérico de $P(x)$ en $x = a$, es decir, $P(a)$. No hace falta hacer la división completa.

Ejemplo: el resto de dividir $x^3 + 2x^2 - 5x + 1$ entre $x - 2$ es:

$$ P(2) = 8 + 8 - 10 + 1 = 7 $$

Teorema del factor

Si el resto es 0, es decir, si $P(a) = 0$, entonces $(x - a)$ es un factor de $P(x)$ y $a$ es una raíz del polinomio. Esto permite factorizar polinomios.

División entre $x + a$

Dividir entre $x + a$ es lo mismo que dividir entre $x - (-a)$, así que se aplica Ruffini con $a = -a$.

divide $x^3 + 4x^2 + x - 6$ entre $x - 1$ y factoriza

Coeficientes: 1, 4, 1, -6 con $a = 1$:

  • Bajar 1; $1 \cdot 1 = 1$; $4 + 1 = 5$; $5 \cdot 1 = 5$; $1 + 5 = 6$; $6 \cdot 1 = 6$; $-6 + 6 = 0$.

Cociente: $x^2 + 5x + 6$ y resto 0. Como el resto es 0, $x = 1$ es raíz y:

$$ x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 5x + 6) $$

Además, $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, luego la factorización completa es:

$$ x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x + 2)(x + 3) $$

Raíces enteras

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, sus raíces enteras (si existen) hay que buscarlas entre los divisores del término independiente. Por ejemplo, para $x^2 - 9$ los candidatos son $\pm 1, \pm 3, \pm 9$; probando, $x = 3$ y $x = -3$ son raíces.

Errores comunes

  • Olvidar colocar un 0 cuando falta un término (por ejemplo, en $x^3 - 8$ falta $x^2$ y $x$).
  • Confundir el signo de $a$: para dividir entre $x + 3$ se usa $a = -3$.
  • Interpretar el resto como un coeficiente más del cociente.

1. ¿Con qué valor de $a$ se aplica la regla de Ruffini para dividir un polinomio entre $x + 1$? (1 puntos)

2. ¿Cuál es el resto de dividir $x^3 + 2x^2 - 5x + 1$ entre $x - 2$? (1 puntos)

3. ¿Cuál es el resto de dividir $x^2 + 5x + 6$ entre $x + 2$? (1 puntos)

4. Divide $x^3 + 4x^2 + x - 6$ entre $x - 1$ mediante Ruffini y responde: (1 puntos)

a ) Apartado a) ¿Cuánto vale el resto?

b ) Apartado b) ¿Cuánto vale la suma de los coeficientes del cociente $x^2 + 5x + 6$?

5. ¿Cuándo se puede afirmar que $(x - a)$ es un factor de $P(x)$? (1 puntos)

6. Comprueba si $x = 1$ es raíz de $P(x) = x^3 - 3x + 2$ calculando $P(1)$. ¿Cuánto vale $P(1)$? (1 puntos)

7. ¿Qué número se coloca a la izquierda de la tabla al dividir un polinomio entre $x - 3$ mediante Ruffini? (1 puntos)