Monomios y polinomios

Un monomio es el producto de un número (coeficiente) por variables con exponentes (parte literal). Por ejemplo, en $3x^2y$ el coeficiente es 3 y la parte literal $x^2y$. El grado de un monomio es la suma de los exponentes: $3x^2y$ tiene grado 3.

Un polinomio es la suma de monomios. Su grado es el mayor de los grados de sus términos y su valor numérico se obtiene sustituyendo la variable por un número.

Operaciones con monomios y polinomios

  • Suma y resta: solo se pueden sumar o restar monomios semejantes (misma parte literal): $3x^2y + 5x^2y = 8x^2y$.
  • Multiplicación: se multiplican coeficientes y se suman exponentes de la misma base: $3x^2y \cdot 2xy^3 = 6x^3y^4$.
  • Multiplicación de polinomios: se multiplica cada término de uno por todos los del otro y se reducen términos semejantes.
multiplica $(2x + 3)(x - 1)$
$$ 2x \cdot x + 2x \cdot (-1) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-1) = 2x^2 - 2x + 3x - 3 = 2x^2 + x - 3 $$

Identidades notables

Son tres fórmulas que permiten simplificar cálculos con polinomios:

$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
$$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$
$$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $$
desarrolla $(2x - 3)^2$

Aplicando $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ con $a = 2x$ y $b = 3$:

$$ (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9 $$

Factor común

Extraer factor común es la operación inversa de la propiedad distributiva: se saca el máximo factor que se repite en todos los términos.

extrae el factor común de $6x^3 + 4x^2$

El máximo común divisor de 6 y 4 es 2, y la parte literal común es $x^2$:

$$ 6x^3 + 4x^2 = 2x^2(3x + 2) $$

Comprobación: $2x^2 \cdot 3x = 6x^3$ y $2x^2 \cdot 2 = 4x^2$. Correcto.

Simplificación de fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios. Para simplificarla se factorizan numerador y denominador y se cancela el factor común (que no puede ser 0).

simplifica $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$

El numerador es una diferencia de cuadrados: $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$. Entonces:

$$ \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = x + 2 $$

con la condición $x \neq 2$, pues el denominador original se anula en $x = 2$.

Errores comunes

  • Sumar monomios que no son semejantes: $3x^2 + 5x$ no se puede reducir.
  • Olvidar el término doble $2ab$ en las identidades $(a \pm b)^2$.
  • Escribir $(a + b)^2 = a^2 + b^2$, que es falso.
  • Cancelar términos que no son factores comunes: en $\frac{x + 2}{x + 3}$ no se puede tachar la $x$.

1. ¿Cuál es el desarrollo correcto de $(x + 5)^2$? (1 puntos)

2. ¿Cuál es la suma de $3x^2y + 5x^2y$? (1 puntos)

3. ¿Cuánto vale el polinomio $3x^2 - 2x + 1$ cuando $x = 2$? (1 puntos)

4. Desarrolla la identidad notable $(2x - 3)^2$ y responde: (1 puntos)

a ) Apartado a) ¿Cuánto vale el coeficiente de $x^2$?

b ) Apartado b) ¿Cuánto vale el término independiente?

5. ¿Qué factor común se puede extraer de $6x^3 + 4x^2$? Escribe el factor (por ejemplo, 2x). (1 puntos)

6. Simplifica la fracción $\frac{x^2 - 25}{x + 5}$ y calcula su valor para $x = 7$. (1 puntos)

7. ¿Cuál de estas igualdades es correcta? (1 puntos)