¿Qué es un diagrama de caja y bigotes?

Un diagrama de caja y bigotes (box plot) resume una distribución de datos con cinco valores clave: el mínimo, el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Q_2$), el tercer cuartil ($Q_3$) y el máximo. Permite ver de un vistazo la posición central, la dispersión y la simetría de los datos.

Los cuartiles

Para calcular los cuartiles, los datos se ordenan de menor a mayor:

  • $Q_1$ (primer cuartil): deja el 25% de los datos por debajo. Es la mediana de la primera mitad de los datos.
  • $Q_2$ (segundo cuartil): es la mediana de todos los datos (50%).
  • $Q_3$ (tercer cuartil): deja el 75% de los datos por debajo. Es la mediana de la segunda mitad.

Si el número de datos es impar, la mediana no se incluye en ninguna de las dos mitades para calcular $Q_1$ y $Q_3$.

Rango intercuartílico y valores atípicos

El rango intercuartílico mide la dispersión de la zona central:

$$ IQR = Q_3 - Q_1 $$

Un dato se considera atípico (outlier) si es menor que $Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR$ o mayor que $Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR$.

Construcción del diagrama

1. Se dibuja una recta numérica que abarque los datos. 2. Se traza una caja desde $Q_1$ hasta $Q_3$, con una línea en la mediana. 3. Se extienden los bigotes desde la caja hasta el mínimo y el máximo que no sean atípicos. 4. Los valores atípicos se representan con puntos aislados.

notas de 11 alumnos: 2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 20

Datos ordenados: 2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 20.

  • Mediana $Q_2$: posición $(11+1)/2 = 6$, es decir, $Q_2 = 9$.
  • Primera mitad (sin la mediana): 2, 3, 5, 6, 7, luego $Q_1 = 5$.
  • Segunda mitad: 11, 13, 15, 18, 20, luego $Q_3 = 15$.
  • Rango intercuartílico: $IQR = 15 - 5 = 10$.
  • Límites: $Q_1 - 1{,}5 \cdot 10 = -10$ y $Q_3 + 1{,}5 \cdot 10 = 30$. Ningún dato es atípico.

La caja va de 5 a 15, con la mediana en 9; los bigotes llegan hasta 2 y 20.

Interpretación

  • La caja contiene el 50% central de los datos.
  • Si la mediana está centrada en la caja y los bigotes son similares, la distribución es aproximadamente simétrica; si no, está sesgada (asimétrica).
  • Una caja larga indica mucha dispersión en la zona central; bigotes largos indican datos muy alejados.

Errores comunes

  • Incluir la mediana en las dos mitades al calcular $Q_1$ y $Q_3$ con un número impar de datos.
  • Dibujar los bigotes hasta los valores atípicos en lugar de representarlos como puntos.
  • Confundir $Q_2$ (mediana) con la media.

1. Para los datos 2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 20, ¿cuánto vale el primer cuartil $Q_1$? (1 puntos)

2. Para los mismos datos, ¿cuánto vale el rango intercuartílico $IQR = Q_3 - Q_1$? (1 puntos)

3. ¿Qué porcentaje de los datos queda por debajo del tercer cuartil $Q_3$? (1 puntos)

4. Con los datos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20, ¿cuál es el valor atípico según el criterio de $Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR$? (1 puntos)

5. En un diagrama de caja y bigotes, ¿qué representa la línea dibujada dentro de la caja? (1 puntos)

6. Para los datos 4, 8, 10, 12, 15, 18, 22 (7 datos), calcula los cuartiles: (1 puntos)

a ) Apartado a) ¿Cuánto vale $Q_1$?

b ) Apartado b) ¿Cuánto vale $Q_3$?

7. ¿Cómo se llama el valor que divide los datos en dos mitades iguales y se dibuja dentro de la caja? (1 puntos)