¿Por qué necesitamos medir la dispersión?

Las medidas de centralización resumen los datos con un solo valor, pero no informan de si los datos están muy agrupados o muy separados. Dos conjuntos pueden tener la misma media y ser muy distintos: 5, 5, 5, 5, 5 y 1, 3, 5, 7, 9 tienen ambas media 5, pero la segunda está mucho más dispersa. Las medidas de dispersión cuantifican esa variabilidad.

Rango

El rango es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo:

$$ R = x_{max} - x_{min} $$

Es fácil de calcular, pero solo usa dos datos y es muy sensible a valores extremos.

Desviación media

La desviación media ($DM$) es la media de las distancias de cada dato a la media:

$$ DM = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{N} $$

Varianza y desviación típica

La varianza es la media de los cuadrados de las distancias a la media:

$$ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N} $$

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza:

$$ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}} $$

La desviación típica se expresa en las mismas unidades que los datos, mientras que la varianza queda al cuadrado.

datos 4, 6, 8, 10, 12

Media: $\bar{x} = (4 + 6 + 8 + 10 + 12)/5 = 40/5 = 8$.

  • Rango: $R = 12 - 4 = 8$.
  • Desviación media: $DM = (|4-8| + |6-8| + |8-8| + |10-8| + |12-8|)/5 = (4 + 2 + 0 + 2 + 4)/5 = 12/5 = 2{,}4$.
  • Varianza: $\sigma^2 = (16 + 4 + 0 + 4 + 16)/5 = 40/5 = 8$.
  • Desviación típica: $\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83$.

Interpretación: en promedio, los datos se separan unos 2,83 unidades de la media.

Datos con frecuencias

Si los datos vienen en una tabla de frecuencias (o agrupados en intervalos con su marca de clase), se usan las frecuencias:

$$ \bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{N} \qquad \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot n_i}{N} $$

Coeficiente de variación

El coeficiente de variación expresa la dispersión relativa a la media, en porcentaje:

$$ CV = \frac{\sigma}{|\bar{x}|} \cdot 100 $$

Permite comparar la dispersión de conjuntos de datos con medias o unidades distintas. Por ejemplo, un $CV$ del 10% indica menos dispersión relativa que uno del 25%.

Errores comunes

  • Confundir varianza y desviación típica: recuerda que la típica es la raíz cuadrada de la varianza.
  • Dividir por $N - 1$ en lugar de $N$: en secundaria se usa la varianza poblacional, que divide entre $N$.
  • Olvidar el valor absoluto en la desviación media, o los cuadrados en la varianza (que eliminan los signos).

1. ¿Cuánto vale el rango de los datos 3, 7, 2, 9, 5, 11? (1 puntos)

2. Calcula la media de los datos 4, 6, 8, 10, 12. (1 puntos)

3. ¿Cuánto vale la varianza de los datos 4, 6, 8, 10, 12? (1 puntos)

4. ¿Cuánto vale la desviación típica de los datos 4, 6, 8, 10, 12? (Aproxima a dos decimales.) (1 puntos)

5. ¿Qué medida de dispersión permite comparar la variabilidad de dos conjuntos de datos con medias muy distintas? (1 puntos)

6. ¿Cuál de estas afirmaciones es correcta? (1 puntos)

7. Los datos 2, 4, 6, 8 tienen media 5. Calcula: (1 puntos)

a ) Apartado a) ¿Cuánto vale la desviación media $DM$?

b ) Apartado b) ¿Cuánto vale la varianza $\sigma^2$?

8. ¿Cómo se llama la medida de dispersión que se obtiene haciendo la raíz cuadrada de la varianza? (1 puntos)